Zadania matematyczno-fizyczne o zegarach

Zegar jest wdzięcznym tematem zadań fizycznych i matematycznych (w tym geometrycznych oraz łamigłówek logicznych). Tym większa chwała autorom, że zebrali w jednym miejscu z różnych źródeł ponad 100 zadań o zegarach - znanych bardziej, mniej lub wcale. Do rozwiązania większości z nich wystarczy elementarna wiedza z matematyki lub fizyki, ale są też zadania na poziomie licealnym, gdzie wykorzystuje się wiedzę z trygonometrii. Na końcu zamieszczono szczegółowe autorskie rozwiązania wszystkich zadań.

Prezentowane w zbiorze zadania zegarowe podzielone są na trzy grupy tematyczne:

• zegarki tradycyjne (analogowe lub bijące godziny)
• zegary z wahadłem
• klepsydry.

W pierwszej grupie można wyróżnić bardzo ciekawą serię zadań geometrycznych dotyczących rozmaitych deseni na tarczy zegarka. Niestety wiele z nich oprócz opisów konfiguracji zawiera też rysunki, co jest poważnym uchybieniem metodycznym (interpretacja treści i wykonanie rysunku są elementami rozwiązania zadania, dzięki temu rozwija się wyobraźnia geometryczna uczniów). Ponadto sformułowania niektórych zadań są mało eleganckie lub niejasne oraz zawierają błędy językowe i metodyczne. Wielka szkoda, że dokonując wyboru, autorzy pominęli zegarki cyfrowe, które również mogą stanowić źródło ciekawych łamigłówek (można się o tym przekonać, choćby zaglądając do artykułu Zegarowe opowieści) oraz zegary słoneczne, które stanowiły prototyp dzisiejszych zegarów, a ich konstruowanie wymagało również sporej wiedzy matematycznej.

Ponieważ zebrane w zbiorze zadania cechuje bardzo zróżnicowany stopień trudności i zaawansowania metod potrzebnych do ich rozwiązania, wadą tego opracowania jest brak oznaczeń, dla jakiego poziomu edukacyjnego można wykorzystać dane zadanie. Utrudnia to znacznie nauczycielowi wybór właściwych zadań dla swoich uczniów, a tym samym efektywne korzystanie z książki. Podobne trudności napotkają uczniowie, którzy chcieliby z niej korzystać samodzielnie. We wstępie bardzo brakuje zestawienia podstawowych zależności fizycznych potrzebnych do rozwiązywania zadań, jest tylko krótkie i niekompletne zestawienie wiadomości matematycznych. Uzupełnienie zbioru o takie krótkie i przejrzyste kompendium wiedzy znacznie ułatwiłoby uczniom samodzielną pracę.  

Oto kilka przykładowych zadań z opisywanego zbioru.

Zegary tradycyjne

• Jeżeli zegar ścienny wybija godzinę szóstą w ciągu 6 sekund, to ile czasu wybija południe?
• Zegar jest rozregulowany, ale jego wskazówki poruszają się równomiernie. O ile zegar późni się lub spieszy, jeśli dokładny czas pokazuje w ciągu doby: a) raz, b) dwa razy, c) trzy razy?
• Kiedy w zegarku z sekundnikiem pokrywa się on z dwusieczną kąta zawartego miedzy wskazówką godzinową i minutową?

Desenie na tarczy

• Jakie jest pole gwiazdy sześcioramiennej wpisanej w okrągłą tarczę zegara o promieniu 6?
• Na okrągłej tarczy zegara ułożonego godziną 12 "do góry" wykreślono łuki okręgów o środkach na brzegu tarczy odpowiadających godzinom 12, 3, 6, 9 i o promieniu równym promieniowi tarczy r.  Jakie jest pole krzywoliniowego krzyża utworzonego przez te łuki, którego ramiona leżą wzdłuż pionowej i poziomej osi tarczy?
• Punkty godzinowe na obwodzie okrągłej tarczy zegara połączono promieniami ze środkiem. Następnie poprowadzono łamaną składająca się z nieskończonej liczby odcinków w taki sposób, że pierwszy z nich zaczyna się na godzinie 12 i łączy ją prostopadle z promieniem do godziny 1, drugi biegnie prostopadle aż do promienia godziny 2 itd. Jaka jest długość otrzymanej łamanej?  

Zegary wahadłowe

• Wahadło o długości 24,9 cm wykonało 120 pełnych wahań w ciągu 2 minut. Jakie było w tym miejscu przyspieszenie siły ciężkości?
• Statek kosmiczny powraca na Ziemię po prostoliniowej trajektorii prostopadłej do jej powierzchni. Znaleźć zależność okresu wahań wahadła zawieszonego w kabinie tego statku od jego przyspieszenia.
• Jaka powinna być długość wahadła sekundowego (tzn. o okresie wahań równym 2 sekundy) na szerokości geograficznej 50°?

Klepsydry

• Uzasadnij, że mając do dyspozycji klepsydry 3-minutową i 5-minutową, można odmierzyć 1 minutę.

• Uzasadnij, że za pomocą klepsydry 5-minutowej i 7-minutowej nie można odmierzyć 13 minut, stosując jedynie pełne przesypywanie piasku z jednego pojemnika do drugiego. Czy można to zrobić na drodze częściowego przesypywania piasku w tych klepsydrach?
• Uzasadnij, że dowolną liczbę całkowitą minut n≥p, gdzie p jest liczbą nieparzystą większą od 1,  można odmierzyć za pomocą klepsydr 2-minutowej i p-minutowej, stosując tylko pełne przesypywanie piasku.