Jakie wieloboki są wielobokami środków?

Na pierwszym z poniższych rysunków, dla zadanego czarnego wieloboku A₁A₂A₃A₄A₅A₆ komputer znajduje jego wielobok środków: P₁P₂P₃P₄P₅P₆ - to łatwe. Na drugim rysunku dla zadanego czerwonego wieloboku P₁P₂P₃P₄P₅ komputer odnajduje czarny wielobok A₁A₂A₃A₄A₅, dla którego wielobok środków jest tym zadanym. Jak to robi (komputer)? Wyjaśnimy to pod koniec artykułu.

UWAGA. Wszystkie rysunki w tekście są dynamiczne. Można przesuwać dowolne punkty zaznaczone pełnym kwadracikiem (chwytając je lewym przyciskiem myszy). Po chwili rysunek się zaktualizuje.

UWAGA.   W tekście przyjmujemy, że wielobok to nie obszar płaszczyzny, lecz tylko ciąg punktów (lub odcinków łączących się końcami). Nie narzucamy żadnych warunków dotyczących samoprzecięć brzegu wieloboku. Dzięki takiej konwencji łatwiej będzie formułować odpowiedzi na zadane pytania.

TRÓJKĄTY

Niemal od razu widać, że dowolny trójkąt P₁P₂P₃ jest wielobokiem środków pewnego trójkąta A₁A₂A₃. By go wyznaczyć, wystarczy przesunąć równolegle dwa razy każdy z czerwonych odcinków (patrz rysunek).

CZWOROBOKI

Nie każdy czworobok jest wielobokiem środków. Są nimi tylko równoległoboki. Wynika to z poniższego twierdzenia.

TWIERDZENIE 1.   Środki boków czworoboku są wierzchołkami równoległoboku.

Nietrudno zobaczyć, że dowolny równoległobok P₁P₂P₃P₄ jest wielobokiem środków pewnego czworoboku A₁A₂A₃A₄, na przykład równoległoboku o bokach równoległych do przekątnych zadanego (czerwonego) równoległoboku (patrz rysunek).

WIELOBOKI O PARZYSTEJ LICZBIE BOKÓW

Jaką własność ma wielobok środków ośmioboku? Czy musi mieć pary boków równoległych? Nie. Wystarczy zobaczyć kilka przykładów (zmieniaj czarne punkty na rysunku obok). Czy zatem może być całkiem dowolny? Nie. Nie każdy ośmiobok jest wielobokiem środków. Musi mieć następującą własność:

Oznacza to mniej więcej tyle, że wybierając co drugi z odcinków czerwonych, można je przesunąć tak, że utworzą czworobok. Zatem gdy np. P₁P₂ jest dłuższy od sumy długości odcinków P₃P₄, P₅P₆, P₇P₈, to taki ośmiobok P₁P₂P₃P₄P₅P₆P₇P₈ nie jest wielobokiem środków żadnego wieloboku.

Uzasadnienie nie jest trudne. Patrząc na rysunek, widzimy cztery równości:

Lewe strony sumują się do lewej strony warunku (*). Natomiast suma prawych stron jest równa:

Oczywiście analogiczny warunek otrzymujemy dla dowolnego wieloboku o parzystej liczbie boków. Mamy zatem twierdzenie.

TWIERDZENIE K_2k.   Jeśli wielobok P₁P₂P₃P₄...P_2k jest wielobokiem środków pewnego wieloboku, to zachodzi równość

Litera K w nazwie twierdzenia oznacza: 'warunek konieczny'. Czy jest to warunek wystarczający? To znaczy czy stwierdzenie odwrotne jest prawdziwe?
Przed odpowiedzią na te pytania zbadamy złożenia symetrii środkowych. Okażą się przydatne.

Rozważmy dwie symetrie środkowe o środkach w danych punktach P i Q. Dla punktu A niech A' oznacza obraz A w symetrii względem P i niech A'' będzie obrazem A' w symetrii względem Q. Czyli A'' jest obrazem A w przekształceniu będącym złożeniem tych dwóch symetrii. Jak leżą względem siebie A i A''? Wykonaj eksperymenty, przemieszczając punkty (pogrubione) na rysunku obok. Co widać?

Widać, że A i A'' leżą w stałej odległości (zależnej od P i Q). Widać, że wektor AA'' jest równy dwukrotności wektora PQ. Wynika to z twierdzenia Talesa (patrz rysunek).

Zatem złożenie dwóch symetrii środkowych o środkach P i Q (najpierw względem P, potem względem Q) jest przesunięciem o wektor 2PQ .

Ta obserwacja wystarczy do uzasadnienia poniższego twierdzenia.

TWIERDZENIE W_2k.   Jeśli dla wieloboku P₁P₂P₃P₄...P_2k zachodzi równość

Zamiast pełnego dowodu przeanalizujemy tylko przypadek sześcioboków. Niech więc sześciobok P₁P₂P₃P₄P₅P₆ ma własność

Podsumowując, A₇ jest obrazem A₁ po trzech przesunięciach: o wektory: 2P₁P₂, 2P₃P₄ i 2P₅P₆ czyli przesunięciem o wektor zerowy - patrz założenie (*₆). Zatem A₇ jest równe A₁.
Znaleźliśmy sześciobok A₁A₂A₃A₄A₅A₆, którego wielobok środków jest zadanym sześciobokiem P₁P₂P₃P₄P₅P₆.

Zauważmy ponadto, że powyższe rozumowanie pokazało, że jest nieskończenie wiele sześcioboków A₁A₂A₃A₄A₅A₆, których wieloboki środków są równe zadanemu sześciobokowi P₁P₂P₃P₄P₅P₆ o własności (*₆). Punkt A₁ był przecież dowolny. To kończy dowód w przypadku sześcioboków. Dla innych wieloboków o parzystej liczbie boków rozumowanie jest analogiczne.

Warunek konieczny i wystarczający ujmiemy w jednym twierdzeniu.

TWIERDZENIE WK_2k.   Dla wieloboku P₁P₂P₃P₄...P_2k zachodzi równość

Zadanie 1.  Niech będzie dany równoległobok P₁P₂P₃P₄. Wyznaczyć zbiór tych wszystkich punktów A₁, że skonstruowany (jak w powyższym dowodzie) wielobok A₁A₂A₃A₄ jest wypukły.

Zadanie 2*.  Niech będzie dany sześciobok wypukły P₁P₂P₃P₄P₅P₆ o własności (*₆). Wyznaczyć zbiór tych wszystkich punktów A₁, że skonstruowany (jak w powyższym dowodzie) wielobok A₁A₂A₃A₄A₅A₆ jest wypukły.

WIELOBOKI O NIEPARZYSTEJ LICZBIE BOKÓW

Przypadek wieloboków o nieparzystej liczbie boków jest w pewnym sensie i łatwiejszy, i trudniejszy. Jest łatwiejszy, bo łatwiej się formułuje twierdzenie, nie ma żadnego warunku. Jest trudniejszy, bo nieco trudniej się go dowodzi.

TWIERDZENIE WK_2k+1.   Dla każdego wieloboku P₁P₂P₃P₄...P_2k+1 istnieje dokładnie jeden wielobok A₁A₂A₃A₄...A_2k+1, którego wielobokiem środków jest wielobok P₁P₂P₃P₄...P_2k+1.

Przed dowodem zbadamy złożenia trzech symetrii środkowych.

Rozważmy trzy symetrie środkowe o środkach w danych punktach P, Q i R. Dla punktu A niech A' oznacza obraz A w symetrii względem P, niech A'' będzie obrazem A' w symetrii względem Q i niech A''' będzie obrazem A'' w symetrii względem R. Czyli A''' jest obrazem A w przekształceniu będącym złożeniem tych trzech symetrii. Jak leżą względem siebie nawzajem A i A'''? Wykonaj eksperymenty, przemieszczając punkty (pogrubione) na rysunku obok. Co widać?

Widać, że A i A''' leżą symetrycznie względem punktu S, będącego 'brakującym' wierzchołkiem równoległoboku PQRS (p. rys.). Precyzyjne uzasadnienie można oprzeć na poprzednio zbadanej własności złożenia dwóch symetrii środkowych.

Zatem złożenie trzech symetrii środkowych jest symetrią środkową.

Złożenie pięciu symetrii środkowych jest też symetrią środkową (pierwsze trzy zastępujemy jedną, zatem złożenie pięciu jest symetrią środkową - na podstawie poprzedniego zdania).

Ogólnie: złożenie nieparzystej liczby symetrii środkowych jest też symetrią środkową (pierwsze trzy zastępujemy jedną, zatem złożenie wszystkich zredukujemy o dwie symetrie).

Dowód twierdzenia WK_2k+1 omówimy tylko na przykładzie pięcioboku P₁P₂P₃P₄P₅.

Zaczynając od dowolnego punktu A₁, tworzymy następne po kolei:
punkt A₂ jest obrazem A₁ w symetrii względem P₁,
punkt A₃ jest obrazem A₂ w symetrii względem P₂,
punkt A₄ jest obrazem A₃ w symetrii względem P₃,
punkt A₅ jest obrazem A₄ w symetrii względem P₄,
punkt A₆ jest obrazem A₅ w symetrii względem P₅.

Linia A₁A₂A₃A₄A₅A₆ byłaby 'dobra', gdyby tylko A₆ pokryło się z A₁. 'Dobra', to znaczy jej wielobokiem środków byłby wyjściowy pięciobok P₁P₂P₃P₄P₅.

Ponieważ A₆ jest obrazem A₁ w pewnej symetrii środkowej (będącej złożeniem pięciu symetrii środkowych o środkach w P₁, P₂, P₃, P₄, P₅), więc jest jedno (i tylko jedno) takie położenie A₁, by po przekształceniu przez tę symetrię nie zmieniło się - środek tej symetrii.

Jak znaleźć ten środek? Wystarczy dla dowolnego A₁ zrobić linię A₁A₂A₃A₄A₅A₆ i wybrać środek S odcinka A₁A₆. Powtarzając konstrukcję z punktu S, otrzymamy szukany pięciobok A₁A₂A₃A₄A₅. (Na rysunku wystarczy naprowadzić punkt A₁ na A₆).