Przyjrzyjmy się najprostszym serwetkom wycinanym z wielokątów foremnych i z koła.
W podpunktach d* poniższych zadań trzeba użyć trygonometrii.
Rozważmy serwetki wycięte z n-kątów foremnych Wn, wpisanych w koło o promieniu R.
Zaokrąglamy brzeg wielokąta, tnąc wzdłuż łuków jednakowych okręgów stycznych do Wn,
przy czym sąsiednie łuki są styczne w punkcie styku, jak pokazano na rysunku.
Zadanie 1
Wyznacz obwód, pole i promień okręgu opisanego serwetki w zależności od R, gdy:
a)
n = 4
b)
n = 3
c)
n = 6
d*)
n jest dowolne
Zadanie 1'
Wyznacz obwód, pole i promień okręgu opisanego serwetki w zależności od obwodu p wielokąta Wn, gdy:
a)
n = 4
b)
n = 3
c)
n = 6
d*)
n jest dowolne
Rozważmy serwetki wycięte z koła K o promieniu R.
Tniemy wzdłuż łuków jednakowych okręgów stycznych do K, przy czym sąsiednie łuki są styczne w punkcie styku, jak pokazano na rysunku.
Zadanie 2
Wyznacz obwód i pole serwetki w zależności od promienia R koła K, gdy:
a)
n = 4
b)
n = 3
c)
n = 6
d*)
n jest dowolne
Zadanie 2'
Wyznacz obwód i pole serwetki w zależności od obwodu p koła K, gdy:
a)
n = 4
b)
n = 3
c)
n = 6
d*)
n jest dowolne
Na poniższym rysunku widać jednocześnie oba poprzednio rozważane rodzaje serwetek.
Dla n = 6 wydaje się, że:
- pokrywają się środki wycinanych łuków okręgów,
- serwetka wycięta z koła pokrywa serwetkę wyciętą z wielokąta.
Czy to prawda?
Zadanie 3
Wyznacz stosunek obwodów i stosunek pól obu rodzajów serwetek (w zależności R), gdy:
a)
n = 4
b)
n = 3
c)
n = 6
d*)
n jest dowolne
Rozważmy serwetki wycięte z n-kątów foremnych Wn, wpisanych w koło o promieniu R.
Zaokrąglamy brzeg wielokąta, tnąc wzdłuż łuków jednakowych okręgów stycznych do Wn,
przy czym sąsiednie łuki są styczne w punkcie styku, jak pokazano na rysunku.
Zadanie 4.4
Wyznacz obwód i pole serwetki w zależności od promienia R koła K, gdy:
a)
n = 4, k = 2
b)
n = 4, k = 3
c)
n = 4, k = 4
d*)
n = 4, k jest dowolne
Zadanie 4.3
Wyznacz obwód i pole serwetki w zależności od promienia R koła K, gdy:
a)
n = 3, k = 2
b)
n = 3, k = 3
c)
n = 3, k = 4
d*)
n = 3, k jest dowolne
Zadanie 4.6
Wyznacz obwód i pole serwetki w zależności od promienia R koła K, gdy:
a)
n = 6, k = 2
b)
n = 6, k = 3
c)
n = 6, k = 4
d*)
n, k są dowolne
Zadanie 4'
Wyznacz obwód i pole serwetki w zależności od obwodu p koła K, gdy
a)
n = 3, k = 2
b)
n = 4, k = 5
c)
n = 6, k = 4
d*)
n, k są dowolne
Rozważmy serwetki wycięte z koła K o promieniu R.
Brzeg serwetki tworzy n łuków okręgów stycznych do K. Sąsiednie łuki mają promienie r' i r'' i są styczne w punkcie styku, jak pokazano na rysunku
(przesuwaj punkt S').
Zadanie 5
Wyznacz r' i r'' w zależności od promienia R koła K, gdy r' = r'' i:
a)
n = 4
b)
n = 6
d*)
n jest dowolne, parzyste
Zadanie 6
Wyznacz r'' w zależności od promienia R koła K,
gdy r' = R/2 i:
a)
n = 4
b)
n = 6
d*)
n jest dowolne, parzyste
Zadanie 7
Wyznacz r' i r'' w zależności od R,
gdy okręgi co drugich większych łuków są styczne i:
a)
n = 4
b)
n = 6
d*)
n jest dowolne, parzyste
Zadanie 8
Wyznacz r'' w zależności od r' i R, gdy
a)
n = 4
b)
n = 6
d*)
n jest dowolne, parzyste
Zadanie 9.d*
Wyznacz r' i r'' w zależności od R, gdy r' = 2r'' i
n jest dowolne, parzyste.
Zadanie 10.d*
Wyznacz r' i r'' w zależności od R, gdy n = 6 oraz
środki okręgów: dużego łuku i dwóch sąsiednich małych łuków, leżą na jednej prostej.
Uwaga
W zadaniach 1d, 2d, 4d, gdy n jest 'bardzo duże'
wyniki mało różnią się od liczb:
2 R
oraz
R2.
Formalnie należałoby użyć twierdzeń o granicach ciągów. Ale można to też zobaczyć z pewnej postaci odpowiedzi do zadań 1'd, 2'd, 4'd.
