$\pi^{\mbox{kwadrat}}$

Data ostatniej modyfikacji:
2018-08-12

Autor:

Krzysztof Omiljanowski

pracownik IM UWr

Poziom edukacyjny:

szkoła średnia z maturą

szkoła profilowana zawodowa

szkoła wyższa

Dział matematyki:

geometria syntetyczna

Czy znasz jakiś wzór, w którym występuje ² ?
Jeśli nie, to zobacz.

Huśtawka (deska o długości d) kręci się wokół punktu G. Jak przemieszczają się jej końce?
To jasne - końce P i L kręcą się po okręgu o środku G i promieniu d/2.

Rysunek utworzono za pomocą programu C.a.R.
Można przesuwać suwaki i 'wypełnione' punkty.

Gdy deska (o długości d) jest ustawiona na okręgu (beczce), to... zaczyna się zabawa!

Zakładamy, że deska nie ślizga się.
Gdy deska obróci się o kąt , tzn. = ZOG, gdzie Z oznacza punkt styczności, to Z jest odległy od środka deski o długość łuku GZ, czyli PZ = d/2 · R i LZ = d/2 · R.

Po jakich liniach poruszają się końce P, L ?
Można zobaczyć, że nie po okręgu (przesuń suwak 'show').

Rysunek utworzono za pomocą programu C.a.R.
Można przesuwać suwaki i 'wypełnione' punkty.

Przyjrzymy się dokładniej jednej z tych linii.
Pomyślmy o ruchu punktu P, gdy jako punkt początkowy obierzemy P₀ - punkt 'maksymalnego wychylenia'. Wtedy punkt styczności Z pokrywa się z P₀. Przesuwanie Z po okręgu będziemy mierzyć kątem = ZOP₀. Odcinek ZP jest równy (aktualnej) długości łuku ZP₀ okręgu. (Zapominamy o reszcie deski, o dalszej części huśtawki).
Punkt P zachowuje się tak, jak koniec nici odwijanej ze szpulki (czyli z okręgu),
zatacza pewną linię PP₀.

Rysunek utworzono za pomocą programu C.a.R.
Można przesuwać suwaki i 'wypełnione' punkty.

PROBLEM.    Dla zadanej wartości kąta :
    Jaka jest długość linii PP₀?
    Jakie jest pole obszaru ograniczonego linią PP₀, odcinkiem ZP i łukiem ZP₀ okręgu?

Odpowiedź zobaczymy, zastępując łuk P₀Z łamaną Z₀Z₁Z₂...Z_n, otrzymaną z podziału kąta na n równych części. Zamiast odwijać nić z łuku okręgu, odwijamy z nić z tej łamanej.
Oglądnij dokładnie poniższy rysunek.
Gdy n jest coraz większe, otrzymujemy coraz lepsze przybliżenia linii PP₀.

UWAGA 1. (tylko dla dorosłych)

Rysunek utworzono za pomocą programu C.a.R.
Można przesuwać suwaki i 'wypełnione' punkty.

Linię PP₀ przybliża n łuków P₀P₁, P₁P₂,..., P_n–1P_n okręgów o środkach Z₁, Z₂,..., Z_n i promieniach: 1 · |Z₀Z₁|, 2 · |Z₀Z₁|, ... , n · |Z₀Z₁|.
Sprawdź, że: P_k–1Z_kP_k = /_n , dla k = 1, 2, ... , n–1, oraz P_n–1Z_nP_n = ¹/₂ · /_n.