W tym tekście nie ma żadnego rysunku, ale to nie znaczy, że rysunki są tu niepotrzebne. Bądź (samo)dzielny!
Przypomnijmy:
DEFINICJA 1. Jeśli na brzegu koła k leżą wszystkie wierzchołki wielokąta w, to k nazywamy kołem OPISANYM na w. Niech Ropi i Oopi oznaczają odpowiednio jego promień i środek.
Koło opisane na wielokącie zawiera ten wielokąt. Czasami istnieją mniejsze koła, które też zawierają ten wielokąt.
Ogólnie powiemy:
DEFINICJA 2. Jeśli koło k zawiera figurę f i żadne koło o promieniu mniejszym nie zawiera f, to k nazywamy kołem OPASANYM na f. Niech Ropa i Oopa oznaczają odpowiednio jego promień i środek.
Zbadamy koła opasane na danej figurze.
ZADANIE 1.
Rozważmy trapez równoramienny o podstawach a, b i wysokości h.
Gdzie leży środek i jaki jest promień koła opasanego na tym trapezie, jeśli:
a) a = 10, b = 6 i h = 1 ? b) a = 10, b = 6 i h = 3 ?
c) a = 10, b = 6 i h = 4 ? d) a = 10, b = 6 i h = 5 ?
e*) a = 10, b = 6 ?
ZADANIE 2.
a) Dlaczego koło opisane na kwadracie jest jednocześnie kołem opasanym na tym kwadracie?
b) Dlaczego koło opisane na prostokącie jest jednocześnie kołem opasanym na tym prostokącie?
ZADANIE 3.
Gdzie leży środek i jaki jest promień koła opasanego na:
a) rombie? b) równoległoboku?
ZADANIE 4.
Istnieją trójkąty, dla których Ropi > Ropa.
a) Dla jakich trójkątów Ropi > Ropa?
b) Jeśli dla trójkąta Ropi > Ropa, to gdzie leży środek Oopa?
c) Jeśli dla trójkąta Ropi > Ropa, to jaki jest promień Ropa?
ZADANIE 5.
Gdzie leży środek i jaki jest promień koła opasanego na:
a) półokręgu o promieniu r?
b) ćwiartce koła o promieniu r?
c) ćwiartce okręgu o promieniu r?
d) wycinku koła o promieniu r i kącie rozwarcia równym 120o?
e) łuku okręgu o promieniu r i kącie rozwarcia równym 120o?
f) wycinku koła o promieniu r i kącie rozwarcia równym 60o?
g) łuku okręgu o promieniu r i kącie rozwarcia równym 60o?
h*) wycinku koła o promieniu r i kącie rozwarcia równym 45o?
i) łuku okręgu o promieniu r i kącie rozwarcia równym 45o?
ZADANIE 6.
Niech f oznacza część wspólną dwóch kół o promieniu r i środkach O1, O2.
Gdzie leży środek i jaki jest promień koła opasanego na f, gdy:
a) r = 10 i | O1O2 | = 10?
b) r = 10 i | O1O2 | = 18?
c) r = 10 i | O1O2 | = 2?
d) 0 < | O1O2 | < 2r?
Uzasadnienie poniższego twierdzenia jest łatwe tylko przy użyciu pojęć matematyki wyższej. Przyjmijmy je zatem bez dowodu.
TWIERDZENIE 1.
Jeśli f jest figurą ograniczoną (co najmniej dwupunktową),
istnieje koło opasane na f.
ZADANIE 7.
Niech f będzie figurą ograniczoną (co najmniej dwupunktową).
Uzasadnij, że jest tylko jedno koło opasane na f.
WSKAZÓWKA. Patrz zadanie 6.
ZADANIE 8.
Niech f będzie ograniczoną figurą osiowosymetryczną (co najmniej dwupunktową) i niech S oznacza jej oś symetrii.
Uzasadnij, że środek Oopa koła opasanego należy do S.
ZADANIE 9.
Niech f będzie ograniczoną figurą środkowosymetryczną (co najmniej dwupunktową) i niech P oznacza jej środek symetrii.
Czy środek Oopa koła opasanego pokrywa się z punktem P?
ZADANIE 10*. Niech ABCD będzie wypukłym czworokątem.Czy koło opasane na ABCD:
a) pokrywa się z jednym z kół opisanych na trójkątach: ABC, BCD, CDA, DAB?
a') pokrywa się z jednym z kół opasanych na trójkątach: ABC, BCD, CDA, DAB?
b) ma promień nie dłuższy od promienia każdego z kół opisanych na trójkątach: ABC, BCD, CDA, DAB?
b') ma promień nie dłuższy od promienia każdego z kół opasanych na trójkątach: ABC, BCD, CDA, DAB?
b'') ma promień nie krótszy od promienia każdego z kół opasanych na trójkątach: ABC, BCD, CDA, DAB?
c) ma średnicę nie dłuższą od przekątnych czworokąta ABCD?
c') ma średnicę nie krótszą od przekątnych czworokąta ABCD?
