Rozwiązywanie zadań często przypomina drążenie tunelu w litej skale. Bynajmniej nie dlatego, że idzie 'jak po grudzie', ale dlatego, że podobna jest radość z zobaczenia 'światełka w tunelu'! Wcześniej warto zobaczyć, jak drążyć tunele w sześcianie - Drążąc temat (1) oraz w piramidzie - Drążąc temat (2). Tym razem nadal będziemy drążyć tunele w piramidzie, ale z dwóch stron jednocześnie.
Rozważmy piramidę, czyli ostrosłup prawidłowy o podstawie kwadratowej, o boku a i o takiej wysokości H, że jego ściany boczne są trójkątami równobocznymi.
Rozgrzewka. Bez żadnych rachunków odpowiedz na poniższe pytania (podając uzasadnienia).
ZADANIE 1
Pod jakim kątem przecinają się przeciwległe krawędzie boczne:
a) pod kątem < 90o?
b) pod kątem = 90o?
c) pod kątem > 90o?
ZADANIE 2
Pod jakim kątem ściany boczne przecinają podstawę:
a) pod kątem < 60o?
b) pod kątem = 60o?
c) pod kątem > 60o?
ZADANIE 3
Pod jakim kątem przecinają się sąsiednie ściany boczne:
a) pod kątem < 90o?
b) pod kątem = 90o?
c) pod kątem > 90o?
Na ścianach bocznych piramidy zaznaczono trójkąty jednokładne do nich w skali 1/2 względem środków tych ścian (czyli względem punktów przecięcia się środkowych).
ZADANIE 4
Czy suma pól tych czterech mniejszych trójkątów jest
a) mniejsza od
b) równa
c) większa od
pola/polu podstawy piramidy?
Pary mniejszych trójkątów położone na przeciwległych ścianach piramidy są wylotami dwóch tuneli wywierconych na wprost przez piramidę równolegle do jej podstawy. Te tunele krzyżują się w środku piramidy. Taki podwójny tunel nazwijmy d-tunelem.
Zastanówmy się, jak wygląda ten d-tunel.
ZADANIE 5
a) Jaki kształt ma podłoga d-tunelu? Jeśli jest wielokątem, to ile ma boków?
b) Ile ścian (poza podłogą) ma d-tunel?
c) Ile ścian czworokątnych ma d-tunel?
d) Ile ścian trójkątnych ma d-tunel?
Odpowiedzi zobaczysz na poniższym rysunku.
ZADANIE 6
a) Jakie jest pole podłogi d-tunelu?
b) Jakie jest łączne pole ścian (poza podłogą) d-tunelu?
Na poniższym rysunku można 'wyjąć' d-tunel z piramidy - przesuń do oporu suwak [więcej].
Można też zobaczyć pokolorowane ściany d-tunelu - przesuń pojawiający się suwak [kolory].
PROBLEM 7
a) Czy ściany d-tunelu są równoległe do ścian piramidy odpowiadających im kolorami?
b) Czy ściany d-tunelu (poza podłogą) są równoległobokami?
Na poniższym rysunku można zmieniać wysokość piramidy.
PROBLEM 8*
Które z poprzednich odpowiedzi nie zmienią się, tzn. są niezależne od wielkości H?
Na poniższym rysunku można zmieniać skalę jednokładności s, w której 'małe' trójkąty powstały ze ścian piramidy.
PROBLEM 9*
Które z poprzednich odpowiedzi nie zmienią się, tzn. są niezależne od wielkości s i H?
