listopad 2007

Zad. 1. W pewnym okręgu dwie równoległe cięciwy mają długość 10 i są odległe o 24. Jaki promień ma ten okrąg?

Zad. 2. Jakie reszty przy dzieleniu przez 4 dają sumy kwadratów 2007 kolejnych liczb naturalnych?

Zad. 3. Znajdź wszystkie funkcje f o dziedzinie R spełniające dla każdego x warunek:
x2·(f(x))2 + 1 = 2f(x).

 

Wyniki:
Poprawne rozwiązania 3 zadań nadesłał tylko Damian Olczyk z I LO w Oleśnie.
Gratulujemy!

Po dwóch miesiącach trwania ligi prowadzi Damian Olczyk z I LO w Oleśnie (6 pkt. na 6 możliwych), a II miejsce zajmuje Karol Strzała z II LO w Opolu (4 pkt.).

 

Odpowiedzi:

Zad. 1. W trójkącie prostokątnym z rysunku mamy d=12, a=5,
zatem z twierdzenia Pitagorasa r = $\sqrt{(12^2+5^2)}$ = 13.

Zad. 2. Kwadraty liczb parzystych są postaci (2n)2, czyli 4n2, więc dzielą się przez 4. Kwadraty liczb nieparzystych są postaci (2n+1)2, czyli 4(n2+n)+1, zatem dają przy dzieleniu przez 4 resztę 1. Suma kwadratów 2007 kolejnych liczb naturalnych daje więc resztę taką jak 0+1+0+1+0+1+...+1+0 (gdy zaczynamy od kwadratu liczby parzystej) lub taką jak 1+0+1+0+1+0+...+0+1 (gdy zaczynamy od kwadratu liczby nieparzystej), gdzie składników jest 2007. W pierwszym przypadku suma wynosi 1003, w drugim - 1004, czyli otrzymywane reszty z podziału sumy to 3 lub 0.

Zad. 3. Dane równanie jest równoważne równaniu: (x·f(x) - 1)2 = 0 i dalej x·f(x) = 1, co dla x=0 nie może być spełnione przez żadną funkcję f, więc szukane funkcje nie istnieją.

 

Powrót na górę strony