Zad. 1. W pewnym okręgu dwie równoległe cięciwy mają długość 10 i są odległe o 24. Jaki promień ma ten okrąg?
Zad. 2. Jakie reszty przy dzieleniu przez 4 dają sumy kwadratów 2007 kolejnych liczb naturalnych?
Zad. 3. Znajdź wszystkie funkcje f o dziedzinie R spełniające dla każdego x warunek:
x2·(f(x))2 + 1 = 2x·f(x).
Wyniki:
Poprawne rozwiązania 3 zadań nadesłał tylko Damian Olczyk z I LO w Oleśnie.
Gratulujemy!
Po dwóch miesiącach trwania ligi prowadzi Damian Olczyk z I LO w Oleśnie (6 pkt. na 6 możliwych), a II miejsce zajmuje Karol Strzała z II LO w Opolu (4 pkt.).
Odpowiedzi:
Zad. 1. W trójkącie prostokątnym z rysunku mamy d=12, a=5, zatem z twierdzenia Pitagorasa r = = 13.
Zad. 2. Kwadraty liczb parzystych są postaci (2n)2, czyli 4n2, więc dzielą się przez 4. Kwadraty liczb nieparzystych są postaci (2n+1)2, czyli 4(n2+n)+1, zatem dają przy dzieleniu przez 4 resztę 1. Suma kwadratów 2007 kolejnych liczb naturalnych daje więc resztę taką jak 0+1+0+1+0+1+...+1+0 (gdy zaczynamy od kwadratu liczby parzystej) lub taką jak 1+0+1+0+1+0+...+0+1 (gdy zaczynamy od kwadratu liczby nieparzystej), gdzie składników jest 2007. W pierwszym przypadku suma wynosi 1003, w drugim - 1004, czyli otrzymywane reszty z podziału sumy to 3 lub 0.
Zad. 3. Dane równanie jest równoważne równaniu: (x·f(x) - 1)2 = 0 i dalej x·f(x) = 1, co dla x=0 nie może być spełnione przez żadną funkcję f, więc szukane funkcje nie istnieją.
Supersopel ma o poranku pierwszego dnia 2012 mm długości i co dobę w ciągu dnia kurczy się o 123 mm, a każdej nocy wydłuża 1,23 razy. Kiedy jego długość przekroczy rok świetlny? Do znalezienia odpowiedzi na to pytanie przyda się kalkulator. Więcej takich zadań znajdziesz w Lidze kalkulatorowo-komputerowej.
Podatek Belki obowiązuje w Polsce od 2001 roku. Płaci się go od dochodów kapitałowych, czyli na przykład od odsetek z oszczędności ulokowanych na koncie bankowym albo od zysków z giełdy. Do końca marca można legalnie unikać płacenia tego podatku. Dowiedz się jak i dlaczego..
W dniach 17-18 II odbędzie się etap regionalny LXIII Olimpiady Matematycznej. To najstarsza z olimpiad przedmiotowych. Odbywa się w Polsce od 1949 roku. Dziesięć lat później rozpoczęto organizację zawodów międzynarodowych, na których zdobyliśmy dotychczas 25 złotych medali.
Zebrane w trzech tomach „Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata” mogą pomóc w przygotowaniach do polskiej olimpiady, a także do wielu innych konkursów matematycznych. Ale przede wszystkim są ciekawe i wiele można się z nich nauczyć.
Wiele zadań i problemów na poziomie olimpijskim można znaleźć w Internecie. Użyteczne w ich poszukiwaniu może okazać się portalowe linkowisko. Ostatnio zostało znacznie poszerzone, zaktualizowane i uporządkowane. Zapraszamy też do zgłaszania kolejnych użytecznych stron www.
