Rosną kule w sześcianie

Data ostatniej modyfikacji:
2014-09-12
Autor: 
Krzysztof Omiljanowski
pracownik IM UWr
Poziom edukacyjny: 
gimnazjum
szkoła średnia z maturą
szkoła profilowana zawodowa
Dział matematyki: 
geometria przestrzenna
Rysunki dynamiczne utworzono apletem z www.javaview.de/.


 

Przykłady brył 'rosnących' w obrębie sześcianu można zobaczyć w artykule Wianuszki 3D w sześcianie. Zajrzyj tam koniecznie! Tutaj będziemy w sześcianie 'hodowali' kule. Zobacz, jak to wygląda, i rozwiąż kilka zadań.
Uwaga. Zamieszczone podpowiedzi są niemal odpowiedziami.
Nie zaglądaj tam za wcześnie, aby nie zepsuć sobie zabawy.

Wszystko będzie się działo w sześcianie o krawędzi a = 1.

 


 

Zadanie 1.   W sześcianie o krawędzi a = 1 'rośnie' w jednakowym tempie 8 kul, po jednej przy każdym wierzchołku. Każda startuje z innego wierzchołka, a potem rośnie w głąb sześcianu, 'opierając' się stale na trzech ścianach schodzących się w tym wierzchołku.
Poniżej widać jeden 'kadr' z filmu dokumentującego wzrost tych kul.
 


przezroczystość:

Kule przestają rosnąć, gdy dotkną innych kul. Ten finalny układ nazwijmy U1.

  a)   Wyznacz długość promieni kul układu U1.

  b)   Niech B1 oznacza wielościan wyznaczony przez środki kul układu U1 (tzn. B1 jest najmniejszą bryłą wypukłą zawierającą środki tych kul).
Podaj liczby krawędzi i ścian wielościanu B1.  Oblicz pole powierzchni całkowitej B1.

  c)   W U1 każda kula styka się z sąsiednimi. Niech C1 oznacza wielościan wyznaczony przez wszystkie punkty styczności kul (tzn. C1 jest najmniejszą bryłą wypukłą zawierającą wszystkie punkty styczności kul).
Podaj liczby wierzchołków, krawędzi i ścian wielościanu C1.  Oblicz pole powierzchni C1 .

  d)   Wyznacz promień największej kuli o środku w środku sześcianu, która mieści się pomiędzy kulami układu U1 (tzn. jest styczna zewnętrznie do każdej z kul układu).

 
Podpowiedzi  

 


 

Zadanie 2.   W sześcianie o krawędzi a = 1 'rośnie' w jednakowym tempie 6 kul, po jednej przy środku każdej ściany. Każda startuje od środka innej ściany, a potem rośnie w głąb sześcianu, 'trzymając' się stale środka tej ściany.
Poniżej widać jeden 'kadr' z filmu dokumentującego wzrost tych kul.
 


przezroczystość:

Kule przestają rosnąć, gdy dotkną innych kul. Ten finalny układ nazwijmy U2.

  a)   Wyznacz długość promieni kul układu U2.

  b)   Niech B2 oznacza wielościan wyznaczony przez środki kul układu U2 (tzn. B2 jest najmniejszą bryłą wypukłą zawierającą środki tych kul).
Podaj liczby krawędzi i ścian wielościanu B2.  Oblicz pole powierzchni całkowitej B2.

  c)   W U2 każda kula styka się z sąsiednimi. Niech C2 oznacza wielościan wyznaczony przez wszystkie punkty styczności kul (tzn. C2 jest najmniejszą bryłą wypukłą zawierającą wszystkie punkty styczności kul).
Podaj liczby wierzchołków, krawędzi i ścian wielościanu C2.  Oblicz pole powierzchni C2 .

  d)   Wyznacz promień największej kuli o środku w środku sześcianu, która mieści się pomiędzy kulami układu U2 (tzn. jest styczna zewnętrznie do każdej z kul układu).

 
Podpowiedzi  

 


 

Zadanie 3.   W sześcianie o krawędzi a = 1 'rośnie' w jednakowym tempie 12 kul, po jednej przy środku każdej krawędzi. Każda startuje od środka innej krawędzi, a potem rośnie w głąb, 'opierając' się stale na dwóch ścianach przylegających do tej krawędzi.
Poniżej widać jeden 'kadr' z filmu dokumentującego wzrost tych kul.
 


przezroczystość:

Kula przestają rosnąć, gdy dotkną innych kul. Ten finalny układ kul nazwijmy U3.

  a)   Wyznacz długość promieni kul układu U3.

  b)   Niech B3 oznacza wielościan wyznaczony przez środki kul układu U3 (tzn. B3 jest najmniejszą bryłą wypukłą zawierającą środki tych kul).
Podaj liczby krawędzi i ścian wielościanu B3.  Oblicz pole powierzchni całkowitej B3.

  c)   W U3 każda kula styka się z sąsiednimi. Niech C3 oznacza wielościan wyznaczony przez wszystkie punkty styczności kul (tzn. C3 jest najmniejszą bryłą wypukłą zawierającą wszystkie punkty styczności kul).
Podaj liczby wierzchołków, krawędzi i ścian wielościanu C3.  Oblicz pole powierzchni C3 .

  d)   Wyznacz promień największej kuli o środku w środku sześcianu, która mieści się pomiędzy kulami układu U3 (tzn. jest styczna zewnętrznie do każdej z kul układu).

 
Podpowiedzi  

 


 

Podobne (ale nieco trudniejsze) zadania można znaleźć w artykule Rosną kule w czworościanie foremnym. Zapraszamy do lektury!

 



 

Powrót na górę strony