Rysunki dynamiczne utworzono za pomocą apletu www.javaview.de/. |
|
Przykłady brył 'rosnących' w czworościanie foremnym można zobaczyć w artykule Wianuszki 3D w czworościanie foremnym. Z kolei kule 'rosnące' w sześcianie opisaliśmy w artykule Rosną kule w sześcianie. Zajrzyj tam koniecznie!
Tutaj będziemy 'hodowali' kule w czworościanie foremnym. Zobacz, jak wyglądają, i rozwiąż kilka zadań.
Uwaga.
Zamieszczone w tekście podpowiedzi (ii) są niemal odpowiedziami.
Nie zaglądaj do nich za wcześnie, aby nie zepsuć sobie zabawy.
Wszystko się będzie działo w czworościanie foremnym ABCD o krawędziach długości a = 1.
Warto przypomnieć, że wysokości takiego czworościanu mają długość
a . /3, a ich punkt przecięcia dzieli każdą z nich w stosunku 1:3 (patrz Sześcian w czworościanie foremnym).
Zadanie 1.
W czworościanie foremnym o krawędzi a = 1 'rosną' w jednakowym tempie 4 kule, po jednej przy każdym wierzchołku.
Każda startuje z innego wierzchołka, a potem rośnie w głąb czworościanu, 'opierając' się stale na trzech ścianach schodzących się w tym wierzchołku.
Kule przestają rosnąć, gdy dotkną innych kul. Ten finalny układ nazwijmy U1.
a) Wyznacz długość promieni kul układu U1.
b) Wyznacz promień największej kuli o środku w środku czworościanu, która mieści się pomiędzy kulami układu U1 (tzn. jest styczna zewnętrznie do każdej z kul układu).
c)
W U1 każda kula styka się z sąsiednimi. Niech C1 oznacza wielościan wyznaczony przez wszystkie punkty styczności kul (tzn. C1 jest najmniejszą bryłą wypukłą zawierającą wszystkie punkty styczności kul).
Podaj liczby wierzchołków, krawędzi i ścian wielościanu C1. Oblicz pole powierzchni C1 .
Podpowiedzi:
Zadanie 2.
W czworościanie foremnym o krawędzi a = 1 'rosną' w jednakowym tempie 4 kule, po jednej przy środku każdej ściany.
Każda startuje od środka innej ściany, a potem rośnie w głąb czworościanu, 'trzymając' się stale środka tej ściany.
Kule przestają rosnąć, gdy dotkną innych kul. Ten finalny układ nazwijmy U2.
a) Wyznacz długość promieni kul układu U2.
b) Wyznacz promień największej kuli o środku w środku czworościanu foremnego, która mieści się pomiędzy kulami układu U2 (tzn. jest styczna zewnętrznie do każdej z kul układu).
c)
W U2 każda kula styka się z sąsiednimi.
Niech C2 oznacza wielościan wyznaczony przez wszystkie punkty styczności kul (tzn. C2 jest najmniejszą bryłą wypukłą zawierającą wszystkie punkty styczności kul).
Podaj liczby wierzchołków, krawędzi i ścian wielościanu C2. Oblicz pole powierzchni C2 .
Podpowiedzi
Zadanie 3.
W czworościanie foremnym o krawędzi a = 1 'rośnie' w jednakowym tempie 6 kul, po jednej przy środku każdej krawędzi.
Każda startuje od środka innej krawędzi, a potem rośnie w głąb czworościanu, 'opierając' się stale na dwóch ścianach przylegających do tej krawędzi.
Przestają rosnąć, gdy dotkną innych kul.
Ten finalny układ nazwijmy U3.
a) Wyznacz długość promieni kul układu U3.
b) Wyznacz promień największej kuli o środku w środku czworościanu foremnego, która mieści się pomiędzy kulami układu U3 (tzn. jest styczna zewnętrznie do każdej z kul układu).
c)
W U3 każda kula styka się z sąsiednimi.
Niech C3 oznacza wielościan wyznaczony przez wszystkie punkty styczności kul (tzn. C3 jest najmniejszą bryłą wypukłą zawierającą wszystkie punkty styczności kul).
Podaj liczby wierzchołków, krawędzi i ścian wielościanu C3. Oblicz pole powierzchni C3 .
Podpowiedzi:
Jednak prawdziwe wyzwanie, to Kule w ośmiościanie foremnym. Spróbuj swoich sił!