Rysunki utworzono za pomocą programu C.a.R. Można przesuwać suwaki i 'wypełnione' punkty.
Kwadrat w trójkącie zazwyczaj spotykamy w położeniu takim, jak na poniższym rysunku. Jego jeden bok jest zawarty w jednym boku trójkąta, a pozostałe dwa wierzchołki leżą na pozostałych dwóch bokach trójkąta.
Można łatwo wyznaczyć długość x boku takiego kwadratu leżącego w trójkącie równobocznym o boku a.
Wskazówka 1. Wystarczy zapisać podobieństwo trójkątów ABC i LMC.
Wskazówka 2. Niech h oznacza wysokość trójkąta ABC opuszczoną z C.
Jaka jest wysokość trójkąta LMC opuszczona z C?
Odpowiedź.
x = ah / (a+h) = ...
= a(2 - 3) .
Trudniejszym zadaniem jest wyznaczenie tak położonego kwadratu. Podaj konstrukcję kwadratu leżącego w trójkącie w opisany wyżej sposób.
Odpowiedź.
Przedstawimy nietypową konstrukcję.
Uczniowie mogą jednak zadać
Kłopotliwe pytanie 1. Czy kwadrat leżący w ten sposób w trójkącie równobocznym jest największym z kwadratów w nim zawartych?
Odpowiedź?
Poniższe rozumowanie pokazuje, że jeśli prostokąt KLMN leży w (dowolnym) trójkącie ABC tak, że żaden z boków nie zawiera się w obwodzie trójkąta, to ten prostokąt nie jest największym z możliwych.
Można prostokąt KLMN nieco obrócić wokół punktu S
(będącego przecięciem prostopadłych do boków w punktach K i L). Po takim małym obrocie w odpowiednią stronę (w którą? od czego to zależy?) wszystkie wierzchołki leżą we wnętrzu trójkąta.
Zatem ten obrócony prostokąt K'L'M'N' można jeszcze nieco powiększyć w obrębie trójkąta.
Powyższe rozumowanie dawałoby kompletne uzasadnienie pozytywnej odpowiedzi na kłopotliwe pytanie 1, gdybyśmy wiedzieli, że
wśród kwadratów zawartych w danym trójkącie
istnieje kwadrat o największym boku.
Pojęcie zwartości poznawane na studiach matematycznych daje krótką argumentację. Ale jak to opowiedzieć w szkole?
Trudna sprawa, kłopotliwe pytanie.
(Nie roztrząsam tutaj tego problemu. Gdy uczeń tak zapyta, odpowiem mu... na przerwie.)
Kłopotliwe pytanie 2. Czy w każdym trójkącie największy kwadrat w nim zawarty ma wszystkie wierzchołki leżące na obwodzie trójkąta?
Wskazówka
Nie.
Odpowiedź
Patrz.
Kłopotliwe pytanie 3. Czy kwadrat leżący w opisany wyżej sposób w trójkącie równobocznym ma największe pole spośród wszystkich prostokątów zawartych w tym trójkącie?
Grudzień we wrocławskich szkołach przebiega pod znakiem jubileuszowej XX edycji konkursu matematycznego KOMA. W eliminacjach uczniowie wysłuchali wykładu i rozwiązywali zadania dotyczące podzbiorów liczb naturalnych. Ciekawe, z jakim tematem zmierzą się finaliści...
Elf Zenek na przygotowanie prezen-tów chce przeznaczyć te dni grudnia (od 1 do 24 włącznie), w których suma numeru dnia i miesiąca jest liczbą pierwszą, a na przygotowanie dekoracji - te dni, w których suma numer dnia i miesiąca jest liczbą kwadratową. Ile jest dni, w których Zenek będzie zajęty jednym lub drugim zadaniem?
Abalone to doskonała gra strategi-czna dla dwóch osób, o prostych zasadach i wciągającej rozgrywce, którą polecamy na długie zimowe wieczory, a także na mikołajkowe i podchoinkowe prezenty.
Rodzina Wojtka uwielbia mandarynki. W poniedziałek Wojtek kupił ich pierwszą porcję. We wtorek manda-rynki nagle podrożały o 50%. Za kolejną porcję, o p% mniejszą niż w poniedziałek, Wojtek zapłacił we wtorek o p% więcej. O ile procent więcej kupił mandarynek w poniedziałek niż we wtorek?
Zapraszamy do rozwiązywania zadań z Portalowych Lig Zadaniowych.
- 3) . 
