Zadania 121-130

Tak jest. Z inną definicją ułamka prostego nie spotkałem się.

Nie będę podawał pełnego dowodu, bo się zanudzimy na śmierć.
Podam kluczowe momenty dowodu.

1. [tex](x-a), (x-b), (x-a)^{2}, (x-b)^{2}...(x-a)^{n_{1}},... (x-b)^{n_{2}}[/tex] tworzą bazę przestrzeni wielomianów
2. Dzięki niezależności parami elementów zero nie wyraża się inaczej niż przez sumę ułamków o zerowych licznikach.
3. Postuluję, że suma będzie postaci sumy ułamków o licznikach skalarnych i mianownikach będących z zdefiniowanej bazy. Dzięki temu, że jest to baza każda funkcja tej postaci będzie rozkładalna. Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika ułamków prostych dostaniemy postulowany mianownik, a licznik będzie kombinacją liniową elementów z bazy.
4. Jednoznaczność wyprowadza się nie wprost poprzez zrównanie dwóch przedsawień funkcji i z (2) po przeniesieniu na jedną stronę mamy przedstawienie zera, które jest wykonalne, jak liczniki będą zerowe.

Przepraszam za 3 miesiące spóźnienia. Przytoczona przez Ciebie idea przyrównania stron jest kluczem do tego zadania, jednak rozumowanie związane z bazą przestrzeni wielomianów nie jest poprawne.

Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika licznik nie będzie kombinacją liniową wielomianów podanych w (1). Mianownik jest stopnia $n_1+n_2$, więc licznik może być co najwyżej stopnia $n_1+n_2-1$. Natomiast elementem bazowym o najwyższym stopniu jest $(x-a)^n_1$ lub $(x-b)^n_2$. Czyli z elementów bazowych można złożyć co najwyżej wielomian stopnia $max(n_1, n_2)$. Zatem widać, że stopień wielomianu z przestrzeni (1) jest mniejszy od stopnia licznika po sprowadzeniu do wspólnego mianownika.

Do poprawnej odpowiedzi na zadanie prowadzi zrównanie dwóch przedstawień funkcji. Podpowiem że chodzi o metodę reziduów(metodę Heaviside'a https://en.wikipedia.org/wiki/Partial_fraction_decomposition#Residue_met...). A konkretnie o wzór $ a_{ij}={\frac {1}{(k_{i}-j)!}}\lim _{x\to x_{i}}{\frac {d^{k_{i}-j}}{dx^{k_{i}-j}}}((x-x_{i})^{k_{i}}f(x) $, gdzie $f(x) = \frac{W(x)}{(x-a)^{n_1}(x-b)^{n_2}}$.

Z powodu trudności z tym zadaniem wprowadzam uproszczenie $n_1=n_2=3$.

Oznaczenia ze wzoru są następujące... $x_i$ oznacza i-ty biegun, w naszym przypadku $x_1 = a$ oraz $x_2 = b$. $k_i$ jest krotnością i-tego bieguna, u nas $k_1 = k_2 = 3$. Natomiast $j$ jest stopniem mianownika ułamka prostego, czyli $j=1,2,3$. Wyprowadzenie tego wzoru wymaga przyrównania pierwotnej postaci ułamka do postaci rozłożonej na ułamki prostej(niewiadomymi są współczynniki $a_{ij}$).

Wyprowadzenie wzoru dla $j=3$, $i=1$ polega na pomnożeniu równania stronami przez $(x-a)^{3}$ i następnie policzenie po obu stronach równania granicy $\lim _{x\to a}$.

Aby zadanie uznać za zaliczone należy pokazać wyprowadzenia wzorów na $a_{11}$, $a_{12}$ oraz $a_{13}$. Przypominam o uproszczeniu $n_1=n_2=3$. To oznacza że ułamek do rozłożenia ma postać $\frac{W(x)}{(x-a)^{3}(x-b)^{3}}$.

Pozdrawiam i życzę powodzenia
Robert Cz.

Poprzedni opis może być zbyt długi, dlatego w skrócie napiszę jakie są teraz warunki zadania.

Dany jest ułamek $\frac{W(x)}{(x-a)^3(x-b)^3}$. Ułamek można rozłożyć następująco: $\frac{W(x)}{(x-a)^3(x-b)^3}=\frac{a_{11}}{(x-a)}+\frac{a_{12}}{(x-a)^2}+\frac{a_{13}}{(x-a)^3}+\frac{a_{21}}{(x-b)}+\frac{a_{22}}{(x-b)^2}+\frac{a_{23}}{(x-b)^3}$. Równanie jest spełnione dla dowolnego $x$. Należy wyprowadzić wzory na współczynniki $a_{11}$, $a_{12}$, $a_{13}$.

Podpowiem, że najłatwiej jest wyznaczyć $a_{13}$. Wystarczy pomnożyć równanie stronami przez $(x-a)^3$ i następnie policzyć po obu stronach równania granicę $lim_{x->a}$.

W razie wątpliwości, odpowiem na postawione pytania.

Pozdrowienia
Robert Cz.

Zapiszmy równość
$ \frac{W(x)}{(x-a)^{n_1}(x-b)^{n_2}} = \frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + ... + \frac{A_{n_1}}{(x-a)^{n_1}} + \frac{B_1}{x-b} + \frac{B_2}{(x-b)^2} + ... + \frac{B_{n_2}}{(x-b)^{n_2}} $ $= \sum_{i=1}^{n_1}\frac{A_i}{(x-a)^i} + \sum_{i=1}^{n_2}\frac{B_i}{(x-b)^i} $, gdzie W(x) jest wielomianem o stopniu mniejszym niż $ n_1+n_2 $

Istnienie i jednoznaczność rozkładu na ułamki proste jest równoważna istnieniu i jednoznaczności współczynników $ A_1 $, ..., $ A_{n_1} $, $B_1 $, ..., $ B_{n_2} $ spełniających powyższe równanie dla każdego $ x $ różnego od $ a $ i $ b $ .

Po pomnożeniu stronami przez $ (x-a)^{n_1}(x-b)^{n_2} $ otrzymujemy:
$ W(x) = A_1 (x-a)^{n_1-1} (x-b)^{n_2} + A_2 (x-a)^{n_1-2} (x-b)^{n_2} + ... + $ $ A_{n_1-2} (x-a)^{2} (x-b)^{n_2} +A_{n_1-1} (x-a) (x-b)^{n_2} + A_{n_1} (x-b)^{n_2} $ $ + B_1 (x-a)^{n_1} (x-b)^{n_2-1} + B_2 (x-a)^{n_1} (x-b)^{n_2-2} + ... $ $ + B_{n_2-2} (x-a)^{n_1} (x-b)^{2} +B_{n_2-1} (x-a)^{n_1} (x-b) + B_{n_2} (x-a)^{n_1} $ $ = \sum_{i=1}^{n_1}A_i (x-a)^{n_1-i} (x-b)^{n_2} + \sum_{i=1}^{n_2}B_i (x-a)^{n_1} (x-b)^{n_2-i}$

Zatem wystarczy wykazać, że dowolny wielomian stopnia mniejszego niż $ n_1+n_2 $ można jednoznacznie przedstawić poprzez kombinację liniową wielomianów $ (x-a)^{n_1-i} (x-b)^{n_2} $ i $ (x-a)^{n_1} (x-b)^{n_2-j} $ , gdzie $ i=1,...,n_1 $, $ j=1,...,n_2 $ . Wykażę, że te wielomiany są bazą przestrzeni wielomianów stopnia mniejszego niż $ n_1+n_2 $.

Nietrudno zauważyć, że wielomiany 1, x, ..., $ x^{n_1+n_2-1} $ stanowią bazę przestrzeni wielomianów stopnia mniejszego niż $ n_1+n_2 $. Tych wielomianów jest $ n_1+n_2 $, stąd przestrzeń jest wymiaru $ n_1+n_2 $. Skoro przestrzeń jest wymiaru $ n_1+n_2 $, to każdy zbiór $ n_1+n_2 $ liniowo niezależnych wielomianów jest bazą tej przestrzeni.

Wielomianów $ (x-a)^{n_1-i} (x-b)^{n_2} $ oraz $ (x-a)^{n_1} (x-b)^{n_2-j} $ (gdzie $ i=1,...,n_1 $, $ j=1,...,n_2 $) jest $ n_1+n_2 $. Zatem wystarczy wykazać ich liniową niezależność.

Wspomniane wielomiany są liniowo niezależne, bo $ \sum_{i=1}^{n_1}A_i (x-a)^{n_1-i} (x-b)^{n_2} + \sum_{i=1}^{n_2}B_i (x-a)^{n_1} (x-b)^{n_2-i} = 0$ dla każdego x, wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie $ A_i $ oraz $ B_i $ są równe 0. Tak jest, bo po $ n_1-i $-krotnym (lub $ n_2-i $-krotnym) zróżniczkowaniu obu stron równania i następnie obustronnym policzeniu granicy x-->a (lub x-->b) otrzymujemy $ A_i=0 $ (lub $ B_i=0 $).

Skoro wspomniane wielomiany stanowią bazę przestrzeni wielomianów o stopniu mniejszym niż $ n_1+n_2 $, to dowolny wielomian stopnia mniejszego niż $ n_1+n_2 $ można jednoznacznie przedstawić poprzez kombinację liniową wielomianów $ (x-a)^{n_1-i} (x-b)^{n_2} $ i $ (x-a)^{n_1} (x-b)^{n_2-j} $ , gdzie $ i=1,...,n_1 $, $ j=1,...,n_2 $ .

Powyższe rozumowanie dowodzi istnienia i jednoznaczności rozkładu na ułamki proste. Aby uzyskać wzór na współczynniki A_i wystarczy równanie $ \frac{W(x)}{(x-a)^{n_1}(x-b)^{n_2}} = \frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + ... + \frac{A_{n_1}}{(x-a)^{n_1}} + \frac{B_1}{x-b} + \frac{B_2}{(x-b)^2} + ... + \frac{B_{n_2}}{(x-b)^{n_2}} $ pomnożyć przez $ (x-a)^{n_1} $, następnie zróżniczkować $ n_1-i $-krotnie obie strony równania oraz obustronnie policzyć granicę x-->a. Analogicznie wygląda wyprowadzenie wzoru na współczynniki $ B_i $.

Wzory są następujące: $ A_i = \lim_{x\to a}(\frac{d^{n_1-i}}{dx^{n_1-i}}(\frac{W(x)}{(x-a)^{n_1} (x-b)^{n_2}} (x-a)^{n_1}) = \lim_{x\to a}\frac{d^{n_1-i}}{dx^{n_1-i}}(\frac{W(x)}{(x-b)^{n_2}}) $, $ B_i = \lim_{x\to b}(\frac{d^{n_2-i}}{dx^{n_2-i}}(\frac{W(x)}{(x-a)^{n_1} (x-b)^{n_2}} (x-b)^{n_2}) = \lim_{x\to b}\frac{d^{n_2-i}}{dx^{n_2-i}}(\frac{W(x)}{(x-a)^{n_1}}) $.

Spotykasz dwóch ludzi. Jeden z nich zawsze mówi prawdę, a drugi zawsze kłamie. Zadajesz jednemu z nich pytanie na które można odpowiedzieć tak lub nie. Jakie pytanie trzeba zadać, żeby określić który mówi prawdę, a który kłamie?

Zapytać dowolnego z nich "Czy obaj mówicie prawdę?" - jeśli padnie odpowiedź "nie", odpowiadający jest uczciwy, jeśli padnie "tak", odpowiadający jest kłamcą.

Udowodnij, że żadna liczba należąca do zbioru $S = \{6n+2 : n\in N \}$ nie jest kwadratem liczby całkowitej.

Udowodnij, że żadna liczba należąca do zbioru $S = \{6n+2 : n\in N \}$ nie jest kwadratem liczby całkowitej.

To jest pikuś w porównaniu z pozostałymi.

Rozważmy reszty z dzielenia kwadratów liczb całkowitych przez 6.

Będą to jedynie liczby ze zbioru {0,1,4}. Zatem żaden kwadrat nie może należeć do S, bo inaczej musiałby dawać resztę 2, a to niewykonalne.

Dobrze byłoby pokazać, w jaki sposób rozważasz reszty z dzielenia kwadratów liczb całkowitych przez 6. To jest kluczowym elementem rozwiązania.

Jeśli pokażesz rozważanie reszt, to zadanie będzie uznane za rozwiązane poprawnie. Wtedy zadajesz kolejne zadanie poprzez kliknięcie "Odpowiedz" i wpisanie w temacie komentarza: ZADANIE NR 138 ( data )

[tex](6k+r)^2 = 36k^{2}+12kr+r^{2}[/tex]
Przy czym
[tex]r \in \{ 0,1,2,3,4,5 \} [/tex]
Zatem wystarczy rozpatrzeć reszty z dzielenia przez 6 tych liczb
[tex]0^2 = 0 [/tex] daje resztę 0 przy dzieleniu przez 6
[tex]0^1 = 1 [/tex] daje resztę 1 przy dzieleniu przez 6
[tex]2^2 = 4 [/tex] daje resztę 4 przy dzieleniu przez 6
[tex]3^2 = 9 [/tex] daje resztę 3 przy dzieleniu przez 6
[tex]4^2 = 16 [/tex] daje resztę 4 przy dzieleniu przez 6
[tex]5^2 = 25 [/tex] daje resztę 1 przy dzieleniu przez 6

Zatem reszty są ze zbioru {0,1,3,4}. Dwójki nie ma szansy być

Zadajesz kolejne zadanie. W temacie komentarza wpisz ZADANIE NR 138 ( data )

Różnica dwóch liczb wynosi 123,123123 oraz jedna z liczb powstaje z przesunięcia przecinka oraz ich rozwinięcia dziesiętne są skończone. Podać wszystkie pary takich liczb.

Różnica dwóch liczb wynosi 123,123123 oraz jedna z liczb powstaje z przesunięcia przecinka użytego do zapisu drugiej liczby, oraz ich rozwinięcia dziesiętne są skończone. Podać wszystkie pary takich liczb.

136,80347; 13,680347
136,80347 - 13,680347 = 123,123123

136,80347; 13,680347
136,80347 - 13,680347 = 123,123123

To jedyne rozwiązanie.
x-x/10^n=123,123123
niech n=1
9/10*x=123,123123
x=136,80347
jeżeli n>1 to rozwinięcie jest nieskończone

Uzasadnij ostatnie zdanie.

Liczbę można zapisać w postaci skończonego ułamka dziesiętnego wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą wymierną i w rozkładzie mianownika (ułamka skróconego) na czynniki pierwsze, występują wyłącznie liczby 2 lub 5.

x=123,123123*(10^n)/(10^n-1)=13,680347*(10^n)*9/(10^n-1)

jeżeli n>1 to rozwinięcie jest nieskończone, ponieważ:

13,680347 i (10^n-1)/9 są względnie pierwsze.
(10^n) i (10^n-1)/9 są względnie pierwsze.
W rozkładzie (10^n-1) na czynniki pierwsze występują liczby różne od 2 i 5.

Tak - to była ta odpowiedź. Zadajesz.

Jest następująca gra:
Na początku gracz ma 100 punktów.
Gracz rzuca po kolei 100 razy monetą.
Jezeli wypadnie reszka, to ilość punktów zmniejsza się o x procent (0<=x<=100).
O ile procent powinna się zwiekszyć ilość punktów, gdy wypadnie orzeł, aby prawdopodobieństwo posiadania 100 lub więcej punktów po 100 rzutach monetą było co najmniej 50%?

Rozwiązanie zadania przeczuwam, ze będzie rozłożyste, dlatego będę je podawał na raty. Na początek uznajmy, że i x i y są ustalone. Obliczmy prawdopodobieństwo zysku przy tych danych. Niech nasz bohater wygra [tex]n [\tex]. Musi przegrać zatem [tex]100-n[\tex] gier.

Wówczas będzie miał w kieszeni
[tex]\frac{100*(1+y)^{n}(1-x)^{100-n}}{100^{100}}[/tex]

Jedyną daną jest x – o ile procent zmniejszy się ilość punktów przy wyrzuceniu reszki.

Załóżmy zatem, że znamy n i y również i obliczmy szansę, że

[tex]\frac{(100+y)^{n}(100-x)^{100-n}}{100^{100}} \leq 1. [/tex]
Wyznaczmy z tego wzoru n.
[tex](100+y)^{n}(100-x)^{100-n} \leq 100^{100}. [/tex]
[tex](\frac{100+y}{100-x})^{n}) \cdot (100-x)^{100} \leq 100^{100}. [/tex]
Oznaczmy [tex]\frac{100+y}{100-x} =u [/tex] oraz [tex]\frac{100}{100-x}=w[/tex]
Otrzymujemy więc [tex]u^{n}=w^{100} [/tex]
[tex]n=[ \log_{u}w^{100}=100 \log_{u}w ] [/tex] lub mniejsze
Czyli potrzebujemy szansy na to, że n jest większe lub równe tej liczbie To
Gdy obliczymy to n, wykorzystamy do wyznaczenia takiego n, by ta szansa przekroczyła nie spadła poniżej 1/2, a potem z wyliczonych danych obliczyć y

[tex]n=[ 100 \log_{u}w] [/tex]

Szansa na n lub więcej sukcesów jest określona równaniem.

[tex]\sum_{i=n}^{100} {100 \choose i} (\frac{1}{2})^{100}[/tex]
Pokażę, że najmniejsze n=51.
Istotnie
[tex]\sum_{i=100}^{100} {100 \choose i} (\frac{1}{2})^{100} =1 [/tex]
Z tożsamości [tex]{100 \choose i}= {100 \choose 100-i}[/tex]:
[tex]2* \sum_{i=51}^{100} {100 \choose i} (\frac{1}{2})^{100} = 1 [/tex]
[tex] \sum_{i=51}^{100} {100 \choose i} (\frac{1}{2})^{100} = 1/2 [/tex]. To jest szukane prawdopodobieństwo.
n=51. Trzeba rozwiązać równanie:
[tex]100 \log_{u}w =51[/tex] przy czym w jest dane, bo jest funkcją zależną jedynie od x.

Oczywiście w tej sytuacji [tex]u=(w)^{\frac{51}{100}}[/tex]
Z u możemy wrócić do oznaczeń pierwotnych. Otrzymujemy równanie liniowe na y. W efekcie możemy to wyznaczyć.

Bardzo proszę o wyliczenie dla przykładu x=50%.
Co z x=0% oraz x=100%?

Oznaczmy:
Procent zdobywany przy wyrzuceniu orła - y
Prawdopodobieństwo, że reszek wypadnie mniej niż orłów jest mniejsze niż 50%, a więc gdyby przy wypadnięciu przynajmniej takiej samej liczby reszek, co orłów wynik byłby mniejszy niż 100, to wtedy prawdopodobieństwo wyniku większego lub równego 100 byłoby mniejsze niż 50%. W takim razie, gdy wypadnie po tyle samo orłów i reszek to wynik musi być większy lub równy 100. ten wynik będzie równy 100(1-x/100)(1+y/100). Nierówność do obliczenia to
100<=100(1-x/100)(1-y/100) co po przekształceniu daje 100x/(100-x)<=y dla x nierównego 100, a dla x=100 nie ma rozwiązań.

Wykaż, że dla dowolnej liczby dodatniej całkowitej n i nieujemnej liczby rzeczywistej x zachodzi nierówność:
(x+1)n^n<=(n+x)^n

(n+x)^n=(1+x/n)^n*(n^n)=>(n*(x/n)+1)n^n=(x+1)n^n na mocy nierówności Bernoulliego

Dobrze, zadajesz następne zadanie.

Może żeby nie przerywać ciągu, i Maraton miał jakiekolwiek szanse na powrót do życia, to wrzucę kolejne zadanie.

Ktoś miał test, gdzie trzeba wpisywać odpowiedzi do okienka.
Dodatkowo wszystkie pytania i odpowiedzi były zapisane w systemie pozycyjnym o pewnej podstawie. Dostał dwie liczby jednocyfrowe (w tamtym systemie) i miał podać ich iloczyn. Jednak zamiast tego wpisał najpierw ich różnicę, a potem po prawej ich sumę. Mimo to była to prawidłowa odpowiedź. Jaka była wartość odpowiedzi, obie liczby i podstawa tego systemu pozycyjnego, jeśli była ona najmniejszą z możliwych?

Ktoś miał test, gdzie trzeba wpisywać odpowiedzi do okienka.
Dodatkowo wszystkie pytania i odpowiedzi były zapisane w systemie pozycyjnym o pewnej podstawie. Dostał dwie liczby jednocyfrowe (w tamtym systemie) i miał podać ich iloczyn. Jednak zamiast tego wpisał najpierw ich różnicę, a potem po prawej ich sumę. Mimo to była to prawidłowa odpowiedź. Jaka była wartość odpowiedzi, obie liczby i podstawa tego systemu pozycyjnego, jeśli była ona najmniejszą, dla której podane zdarzenie może zajść?

Pracował w systemie binarnym i dostał dwa zera. Wtedy ich różnica to 0, a suma to 0. 0 x 0 = 00.

1. Nie mógł pracować w systemie o bazie 1, bo 0 oznacza w tym systemie 1, a 00 oznacza 2
2. Nigdzie nie pisało, że liczby mają być dodatnie
3. Rozwiązanie trywialne to też rozwiązanie

Na mocy tych trzech argumentów moja odpowiedź powinna być poprawna.

Po pierwsze, 0 nie jest liczbą jednocyfrową, z definicji ma
-nieskończoność cyfr. Po drugie, odpowiedź 00 nie może być przyjęta, gdyż zapis liczby nie może zaczynać się od zera, np. 0,01 pisze się od zera żeby nie było niejednoznaczności w zapisie ale to liczba niecałkowita więc to inna bajka, liczbę 0 tak się pisze umownie ale jej formalny zapis jest pusty, co prawda można byłoby to przyjąć ale ja w zadaniu tego nie zrobię. Po trzecie, system o podstawie jeden jest niezgodny z definicją systemu pozycyjnego z podstawą. Zachęcam jednak do dalszej próby rozwiązania zadania :)

Przy okazji, wciąż lepiej sprawdzić pierwsze przypadki i dojść do rozwiązania bo jest nieduże, chyba to łatwiej zrobić niż znaleźć ogólne rozwiązanie, chociaż byłoby to dość ciekawe.