Przed maturą (2)

1) Czy istnieją dwie liczby pierwsze, których różnica jest równa

1a) 4?

1b) 5?

1c) 6?

1d) 7?

2) Czy prawdziwa jest nierówność

2a) $\log_5 24 < \sqrt{5}$?

2b) $\log_3 26 < \sqrt{10}$?

2c) $\log_2 17 < \sqrt{15}$?

2d) $\log_2 31 < \sqrt{26}$?

3) Czy istnieje taka liczba niewymierna x, że

3a) x > 10¹⁰?

3b) $\sqrt2$ < x < $\sqrt3$?

3c) x < -100?

3d) liczba x² jest niewymierna?

4) Czy prawdziwa jest nierówność

4a) $\sqrt[3]{5} < \sqrt{3}$?

4b) $\sqrt[3]{3} < \sqrt{2}$?

4c) $\sqrt[5]{6} < \sqrt{2}$?

4d) $\sqrt[3]{11} < \sqrt{5}$?

5) Czy istnieje czworościan, w którym

5a) żadna ściana nie jest trójkątem równobocznym?

5b) dokładnie jedna ściana jest trójkątem równobocznym?

5c) dokładnie dwie ściany są trójkątami równobocznymi?

5d) dokładnie trzy ściany są trójkątami równobocznymi?

6) Czy liczba przekątnych jest równa

6a) 5 w pięciokącie wypukłym?

6b) 10 w sześciokącie wypukłym?

6c) 14 w siedmiokącie wypukłym?

6d) 20 w ośmiokącie wypukłym?

7) Czy nierówność $x^4+4\le5x^2$ jest spełniona dla

7a) $x=\sqrt[3]{7}$?

7b) $x=\log_2 5$?

7c) $x={1\over 20!}$?

7d) $x=\sqrt5-4$?

8) Czy wielomian x ²⁰ - x ⁸ + x ³ - 1 jest podzielny przez wielomian

8a) x - 1?

8b) x ² - 1?

8c) x ³ - 1?

8d) x ⁵ - 1?

9) Czy podane przekształcenie płaszczyzny jest złożeniem dw>óch symetrii osiowych?

9a) obrót o kąt 37^o

9b) symetria środkowa

9c) jednokładność o skali 37

9d) symetria osiowa

10) Czy trójkąt o bokach podanej długości ma co najmniej jeden kąt o mierze 45^o?

10a) 7, 7, 10

10b) $\sqrt2, \; 3, \; \sqrt5$

10c) $\sqrt5, \; \sqrt5, \; \sqrt{10}$

10d) $3\sqrt2, \; 5,\; 7$

11) Czy podana liczba jest podzielna przez 3?

11a) 2⁷⁷⁷ - 1

11b) 7⁷⁷⁷ - 1

11c) $20\choose10$

11d) $40\choose20$

12) Czy prawdziwa jest równość

12a) sin² 45^o = cos 60^o?

12b) $\left(\sin30^\circ\right)^{\sin30^\circ}=\cos45^\circ$?

12c) cos³ 30^o = sin² 30^o?

12d) 2 sin 60^o cos 60^o = cos 30^o?

13) Czy promień sfery opisanej na prostopadłościanie o krawędziach podanej długości, jest liczbą wymierną?

13a) 1, 2, 2

13b) 1, 3, 3

13c) 2, 3, 6

13d) 3, 4, 5

14) Żadna z liczb całkowitych a, b, c nie jest podzielna przez 6. Czy stąd wynika, że liczba abc nie jest podzielna przez

14a) 6?

14b) 12?

14c) 36?

14d) 216?

15) Liczby x i y spełniają układ równań $\left\{\matrix{ 2x+3y=17\cr 3x+5y=28\cr }\right.\ .$ Czy stąd wynika, że

15a) x + y =6?

15b) xy = 8?

15c) 3x - 2y = 1?

15d) 2x - y = 9?

16) Czy w dowolnym trójkącie

16a) punkt przecięcia wysokości leży wewnątrz trójkąta?

16b) punkt przecięcia środkowych leży wewnątrz trójkąta?>

16c) punkt przecięcia dwusiecznych kątów leży wewnątrz trójkąta?

16d) punkt przecięcia symetralnych boków leży wewnątrz trójkąta?

17) Dla dowolnej liczby naturalnej n $\ge$ 100, liczba n jest podzielna przez k wtedy i tylko wtedy, gdy liczba utworzona przez dwie ostatnie cyfry liczby n jest podzielna przez k. Czy powyższe zdanie jest prawdziwe dla

17a) k = 2?

17b) k = 3?

17c) k = 5?

17d) k = 8?

18) Czy funkcja f (x) = x²² jest monotoniczna na przedziale

18a) (0, 3)?

18b) (-1, 1)?

18c) (-10, -1)?

18d) (-2, 22)?

19) Czy istnieje nieskończony rosnący ciąg geometryczny o wyrazach całkowitych dodatnich, którego wszystkie wyrazy są

19a) liczbami pierwszymi?

19b) liczbami złożonymi?

19c) liczbami nieparzystymi?

19d) kwadratami liczb całkowitych?

20) Dane są takie liczby rzeczywiste dodatnie x, y, że x < y. Czy stąd wynika, że

20a) log ₇₇ x < log ₇₇ y?

20b) x ⁷⁷ < y ⁷⁷?

20c) $\sqrt[7]{x} < \sqrt[7]{y}$?

20d) log _1/7 x < log _1/7 y?

21) Niech f (x) = x ³ - 3x . Czy wtedy

21a) f '(-1) = 2?

21b) f '( 0) = 0?

21c) f '( 1) = 0?

21d) f '( 2) = 9?

22) Dany jest nieskończony ciąg geometryczny o wyrazach rzeczywistych dodatnich. Czy możemy wywnioskować, że wszystkie wyrazy tego ciągu są wymierne, jeśli wiemy, że wymierne są wyrazy

22a) 1-szy, 3-ci, 7-my?

22b) 2-gi, 5-ty, 11-ty?

22c) 4-ty, 6-ty, 9-ty?

22d) 6-ty, 10-ty, 15-ty?

23) Czy wśród przekątnych n-kąta foremnego istnieją dwie przekątne prostopadłe, jeżeli

23a) n = 5?

23b) n = 6?

23c) n = 8?

23d) n = 10?

24) Liczby całkowite a, b, c spełniają równanie a ² + b ² = c ². Czy stąd wynika, że co najmniej jedna z liczb a, b, c jest podzielna przez

24a) 2?

24b) 3?

24c) 5?

24d) 7?

25) Czy w dowolnym trapezie równoramiennym (równoległoboku nie uważamy za trapez równoramienny)

25a) przekątne dzielą się na połowy?

25b) przekątne są prostopadłe?

25c) przekątne są równej długości?

25d) każda z przekątnych dzieli trapez na dwa trójkąty o równych polach?

26) Czy ciąg (a _n) określony podanym wzorem ma granicę skończoną?

26a) $a_n={ n^3+n^2+1 \over n^5+1 }$

26b) $a_n={ 2^n\cdot n+1 \over n+7 }$

26c) $a_n={ (-1)^n \over n }$

26d) $a_n={ 2^n+1 \over 2^n+3 }$

27) Czy podana liczba jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych?

27a) 2 ^. 10 ⁷⁷

27b) 3 ^. 10 ⁷⁷

27c) 4 ^. 10 ⁷⁷

27d) 5 ^. 10 ⁷⁷

28) Czy w podanym zbiorze figur płaskich istnieją figury o dowolnie małym (dodatnim) polu?

28a) czworokąty wypukłe o bokach (w kolejności) 11, 12, 13, 14

28b) czworokąty wypukłe o bokach (w kolejności) 11, 12, 13, 16

28c) pięciokąty wypukłe o bokach (w kolejności) 4, 5, 6, 7, 8

28d) pięciokąty wypukłe o bokach (w kolejności) 5, 6, 7, 8, 9

29) Czy dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich x, y zachodzi nierówność

29a) xy < x ² + y ²?

29b) x ² y ² < x ³ + y ³?

29c) x ³ y ³ < x ⁷ + y ⁷?

29d) x ⁴ y ⁴ < x ⁸ + y ⁸?

30) Czy istnieją takie punkty A, B, C, D płaszczyzny, że punkty A, B, C są (w podanej kolejności) trzema kolejnymi wierzchołkami pewnego k-kąta foremnego, punkty A, B, D są (w podanej kolejności) trzema kolejnymi wierzchołkami pewnego m-kąta foremnego, punkty C, B, D są (w podanej kolejności) trzema kolejnymi wierzchołkami pewnego n-kąta foremnego,
jeżeli

30a) k = m = n = 6?

30b) k = 6, m = n = 3?

30c) k = 4, m = 5, n = 20?

30d) k = 3, m = 4, n = 12?