Zastosowania wstęgi Möbiusa

Data ostatniej modyfikacji:
2010-11-7
Autor: 
Małgorzata Mikołajczyk
pracownik IM UWr
Poziom edukacyjny: 
gimnazjum

Sklejając końce paska papieru otrzymujemy powierzchnię boczną walca. Wstęga Möbiusa to też zwykły pasek papieru ze sklejonymi końcami tylko z jednym obróconym przed sklejeniem o 180°. To mogło zdarzyć się kiedyś przez nieuwagę lub być celowym sztubackim figlem, faktem jest, że odkryto dzięki temu powierzchnię o niezwykłych matematycznych własnościach. Ten szczególny topologiczny obiekt opisał po raz pierwszy w 1858 roku niemiecki matematyk i astronom August Ferdynand Möbius i stąd wstęga wzięła swoją nazwę.

Ogólnie wstęgą rzędu n nazywamy pasek, który przed sklejeniem końców został przekręcony n-krotnie o 180°. Takie wstęgi są popularnymi motywami zdobniczymi. Można je znaleźć np.:

  • w logo firmy Renault autorstwa Victora Vasarely'ego, logo niemieckiego Commerzbanku i innych firm, np.  Global Investment Servicing, Carmike Cinemas i amerykańskiej firmy administrującej ubezpieczeniami zdrowotnymi HMS Holdings Corporation,
  • na belgijskich znaczkach pocztowych jako symbol poczty Beneluxu,
  • w matematycznym symbolu nieskończoności,
  • w symbolu recyclingu, czyli procesu transformacji zużytych odpadów w gotowe do ponownego użytku materiały, którymi wcześniej były (następuje powrót do punktu wyjścia, jak na wstędze Möbiusa).

Ile razy skręcone są te wstęgi?

 

Wstęga Möbiusa ma także bardziej praktyczne zastosowania:

  • cyrkowcy wykonują "magiczną" sztuczkę, w której cylindryczna obręcz ma ścieżkę z prochu umieszczoną w połowie szerokości i po podłożeniu ognia efektownie przepala się na dwie części, a gdy ogień dochodzi już do końca (tzn. w tym przypadku do początku), wbrew oczekiwaniom widzów wstęga nie rozpada się na dwie części, ale nadal stanowi jedną całość! (oczywiście obręcz nie jest cylindrem lecz wstęgą Möbiusa, sam możesz sprawdzić, co dzieje się, jeśli rozetniesz ją wzdłuż środkowej linii),
  • istnieją książki sklejone w kształt wstęgi Möbiusa, które można czytać "w koło Macieju" i to zaczynając z dowolnego miejsca,
  • w narciarskich skokach akrobatycznych jedna z ewolucji nosi nazwę "koziołek Möbiusa", gdyż ciało narciarza zakreśla w czasie jej wykonywania fragment wstęgi Möbiusa,
  • w technice używa się pasów transmisyjnych skręconych w kształt wstęgi Möbiusa, co powoduje, że ich powierzchnia zużywa się jednakowo po obu stronach,
  • istnieją mapy Ziemi (tzw. mapy Tobblera) kreślone na wstędze Möbiusa, na których antypodyczne punkty znajdują się w tym samym miejscu na odwrotnej stronie wstęgi.

Warto wspomnieć w tym miejscu o "drabinkach" na placu zabaw w centrum nauki Sugar Sand Science Playground Center w Boca Raton, w stanie Floryda (USA), które mają kształt trójwymiarowej wstęgi Möbiusa. Można się po niej wspinać od zewnątrz lub czołgać wewnątrz. Autorem tego projektu jest Gerald Harnett - profesor matematyki na Florida Atlantic University w Boca Raton. W Sugar Sand Park zbudowano zresztą trzypoziomowy plac zabaw dla dzieci, a wszystkie umieszczone tam zabawki (drabinki, huśtawki, karuzele, fontanny itp.) zapoznają najmłodszych z zasadami fizyki i matematyki. Zbudowano je tak, by z jednej strony można było rozważać ich matematyczne i fizyczne własności, a z drugiej - by stanowiły interesujące i bezpieczne miejsce zabawy. Niecodzienne, oryginalne kształty wywołują zachwyt nie tylko u maluchów. Umieszczanie podobnych modeli w przestrzeni publicznej nazywane jest kolektywną sztuką kinetyczną.

 A może znajdziecie jeszcze inne przykłady zastosowań wstęgi Möbiusa? Napiszcie. Natomiast o dziełach sztuki inspirowanych wstęgą Möbiusa mozecie przeczytać tutaj.

 

Super ciekawe

Super ciekawe informacje związane ze wstęgą:)

Wstęga i renault

Znak renault nie przedstawia wstęgi Möbiusa tylko diament. Jakiś czas temu oglądałem historię renault, m. in. jak jego logo zmieniało się przez lata.

Diamentowa wstęga

To, że znaczek renault układa się w romb (ang. diamond), nie zmienia faktu, że jest zrobiony jako wstęga. Ale to nie jest klasyczna wstęga Möbiusa, bo ma dwa skręcenia, nie jedno.

W wikipedii

W "Wikipedii" jest napisane, że przewrócona ósemka była używana jako symbol nieskończoności jeszcze ZANIM Möbius opisał wstęgę. Jak to więc jest?

Jest jak zwykle

W matematyce prawie z każdym pojęciem tak było, że najpierw go używano, a dopiero później próbowano je opisać i zbadać własności. Tak było przecież np. z liczbami (od naturalnych po zespolone), równaniami, pochodnymi, wielościanami i z nieskończonością. Wstęga nie jest żadnym wyjątkiem.

Ładne loga

Bardzo fajne są te wszystkie loga. Nawet nie myślałam, że wstęgę Möbiusa można narysować na tyle różnych sposobów.

To jest przekręt :)

Jeśli sklei się pasek papieru o różnych kolorach po obu stronach bez przekręcania, otrzymujemy powierzchnię boczną walca. Jadąc palcem po jednym kolorze, wracamy do punktu wyjścia po jednym obrocie. To samo z drugiej strony. Jeśli skleimy ten sam papier we wstęgę Möbiusa, to po jednym przejeździe zajedziemy na koniec pierwszego koloru, zaczniemy drugi kolor i po następnym przejeździe dochodzimy do końca drugiego koloru i początku pierwszego. Jednak musimy pokonać dwa razy dłuższą drogę. Czyli jednak "przekręt"... Albo sposób na spotkanie się dwóch przeciwstawnych powierzchni, które normalnie by się nie spotkały.

Dwie powierzchnie

Z Twojego punktu widzenia gdybym pomalował ściany pokoju w następujący sposób: dwie prostopadłe jednym kolorem, pozostałe dwie drugim, to wówczas, chodząc dookoła pokoju, miałbym dwie powierzchnie!

Nieskończoność

"W Wikipedii jest napisane ..." Wikipedii radzę nie zawsze wierzyć na słowo, ale w tym wypadku akurat tak jest. Historia wyglądała tak, że w systemie rzymskim na oznaczenia 1000 czasem używano M, a czasem znaku O z pionową kreską wyglądającego jak CD lub duże greckie Φ (szkoda, że w TeXu nie ma tego znaku). W 1655 zaproponowano, żeby używać tego własnie symbolu na oznaczenie nieskończoności, który z czasem został zniekształcony do znanego obecnie symbolu . A wstęgę Möbius opisał dopiero w XIX wieku.

Zapętlona taśma

Taśma magnetofonowa zapętlona we wstęgę Möbiusa daje efektowne echo! Powstaje taka "kamera pogłosowa"...

To zwykla pętla

Ale to była zwykla pętla, nie wstęga Möbiusa. W taki sposób robiono "echo", gdy nie było linii opóźniających ani pamięci audio (np. isp ). W bardzo starych "automatycznych sektetarkach" na takiej kasecie nagrywało się powitanie. Ale to nadal nie była pętla Möbiusa.

Wstęga i biżuteria

Jeszcze jedna opcja wykorzystania wstęgi Möbiusa ;-)
http://mobiusbracelets.healingbaskets.com

Wstęga w sztuce

Więcej o wykorzystaniu wstęgi Mobiusa w sztuce piszemy na Portalu tutaj.

Powrót na górę strony