styczeń 2023

Data ostatniej modyfikacji:
2023-02-9

Zad. 1. Dla jakich liczb naturalnych n liczba n+1 jest dzielnikiem liczby n2+1?

Zad. 2. Wyznacz wszystkie liczby naturalne, które da się przedstawić w postaci sumy dwóch względnie pierwszych liczb naturalnych większych od 1.  

Zad. 3.  Wyznacz wszystkie czwórki kolejnych liczb naturalnych, których iloczyn jest kwadratem. 

 

Wyniki: 

W tym miesiącu nikomu nie przyznano punktów.

 

Odpowiedzi: 

Zad. 1. Zauważmy, że n+1 jest dzielnikiem liczby n21. Aby dzieliła także n2+1, musi być dzielnikiem różnicy obu liczb, czyli dwójki. Sprawdzamy dwa przypadki (n=0, n=1) i dla obu otrzymujemy odpowiedź twierdzącą. 

Zad. 2.  Jeżeli n jest nieparzysta i większa od 3, to da się ją przedstawić w postaci n = 2k+1 = k + (k+1), gdzie oba składniki są względnie pierwsze. Jeśli n jest podzielna przez 4 i większa od 4, mamy n = 2k = (k–1)+(k+1), gdzie oba składniki są sąsiednimi liczbami nieparzystymi większymi od 1, czyli również są względnie pierwsze. Gdy zaś n jest większa od 6, parzysta, ale niepodzielna przez 4, zapisujemy ją jako n = 2k = (k–2)+(k+2). Mamy NWD(k–2, k+2) = NWD(k–2, 4) = 1 (właściwe są skojarzenia z algorytmem Euklidesa), co pozostawia  do sprawdzenia liczby: 0, 1, 2, 3, 4, 6. Łatwo sprawdzić, że nie spełniają one warunków zadania. 

Zad. 3.  Iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych to n(n+1)(n+2)(n+3) = n4+6n3+11n2+6n. Zauważamy, że jest to liczba o jeden mniejsza od n4+6n3+11n2+6n+1 = (n2+3n+1)2. Dwie kolejne liczby naturalne są kwadratami wtedy i tylko wtedy, gdy mniejsza z nich jest zerem. Wobec tego jedyna czwórka kolejnych liczb naturalnych, której iloczyn jest kwadratem, zaczyna się od zera: 0, 1, 2, 3. 

 

Iloczyn jest kwadratem?

Chodzi o to, że iloczyn jest kwadratem liczby naturalnej?

Odp.

Tak. Liczba kwadratowa (lub krócej kwadrat) to iloczyn liczby naturalnej przez siebie (kwadrat liczby naturalnej).

Powrót na górę strony