Zad. 1. Dane są: x=log100,25 i y=log215. Ile wynosi log3360?
Zad. 2. Trójkąt ABC jest podstawą ostrosłupa prawidłowego ABCW o wysokości 4 i objętości √3/3. Punkt C1 jest rzutem prostokątnym punktu C na przeciwległą ścianę ostrosłupa, a BB1 to wysokość ściany ABW. Oblicz pole trójkąta BB1C1. Uzasadnij rachunki.
Zad. 3. Przez [tex]\frac{1}{2}(-1)[/tex] rozumiemy iloczyn liczb [tex]\frac{1}{2}[/tex] i -1, jednak gdyby opuścić nawias, wynik pozostałby ten sam. Podaj wszystkie pary liczb, które można wstawić w miejsce [tex]\frac{1}{2}[/tex] i 1, tak żeby wartość wyrażenia z nawiasem była taka sama jak różnica tych liczb.
Zadania styczniowe okazały się bardzo trudne. Po 3 pkt przyznaliśmy tylko: Piotrowi Bartoszkowi z III LO w Kaliszu, Bartoszowi Pawliczakowi z LO w Górze i Michałowi Tomańskiemu z II LO w Opolu.
W Lidze Ponadgimnazjalnej prowadzą zatem aktualnie:
- z 12 pkt (na 12 możliwych) - Michał Tomański (II LO Opole),
- z 11,5 pkt - Bartosz Pawliczak (LO Góra),
- z 11 pkt: Adam Balawender (ZSO Strzegom), Piotr Bartoszek (III LO Kalisz), Agnieszka Lewicka (II LO Opole), Karolina Łagoda (II LO Opole), Dorota Mularczyk (III LO Kalisz) i Michał Pilarczyk (I LO Wieluń),
- z 10,5 pkt: Marek Mika (II LO Opole) i Arek Wróbel (XIV LO Warszawa),
- z 10 pkt: Tomasz Skalski (III LO Wrocław) i Marcin Sroka (II LO Ruda Śl.).
Gratulujemy!
Zad. 1. Szukana liczba to [tex]\log_{3}(9\cdot40)=\log_{3}9+\log_{3}40=2+\frac{\log_{2}40}{\log_{2}3}=2+\frac{3+\log_{2}5}{\log_{2}3}[/tex]. Zauważmy teraz, że [tex]x=-2\log_{10}2=\frac{-2}{\log_{2}10}=-\frac{2}{\log_{2}5+1}[/tex], skąd [tex]\log_{2}5=-\frac{2}{x}-1[/tex]. Z kolei [tex]y=\log_{2}3+\log_{2}5=\log_{2}3-\frac{2}{x}-1[/tex], skąd [tex]\log_{2}3=y+\frac{2}{x}+1[/tex]. Ostatecznie odpowiedzią jest [tex]2+\frac{3-\frac{2}{x}-1}{y+\frac{2}{x}+1}=2+\frac{2x-2}{2+x+xy}[/tex].
Zad. 2. Można sprawdzić, że C1 jest punktem wspólnym wysokości trójkąta ABW, więc należy do odcinka BB1 i szukane pole wynosi 0.
Zad. 3. Ma zachodzić x(-y)=x-y. Mamy więc y(1-x)=x, co jest niemożliwe przy x=1, a dla wszystkich pozostałych wartości x daje y=x/1-x i każda taka para (x,y) (dla x≠1) spełnia warunki zadania, przy czym - jak zauważył poniżej Anonimowy - dla y<0 w danym w zadaniu działaniu trzeba by zapisać tę wartość w nawiasie.
Zadanie 3
Czy w zadaniu 3. jest jakieś ograniczenie na wstawiane liczby?
Ograniczenie
Nie, dlaczego? Jeśli par jest zbyt dużo, żeby wypisać wszystkie, wystarczy je oczywiście jakoś (algebraicznie) opisać.
Czy na pewno
Czy w zadaniu 2 na pewno chodzi o wysokość poprowadzoną z punktu B?
Zad. 3
Czy w miejscu, gdzie w przykładzie jest 1, brać też pod uwagę liczby ujemne? Musimy wtedy użyć dwóch nawiasów,
tj. np.
dla $-1$ i $-\frac{1}{2}$:
$-1(-( -\frac{1}{2}))$;
$-1-(-\frac{1}{2})$.
Odpowiedzi
Liczby ujemne w zad. 3 można uwzględniać, ale nie trzeba. W zad. 2 treści nie zmieniamy.