Zad. 1. Podstawy pewnego trapezu mają długości a i b. Jak obliczyć długość odcinka łączącego środki ramion?
Zad. 2. Liczby noworoczne to liczby powstające z liczb naturalnych trzycyfrowych o wszystkich cyfrach nieparzystych przez dopisanie na końcu "2011" lub przez zamianę na "2011" ich środkowej cyfry. Ile jest liczb noworocznych?
Zad. 3. Czy przekątną tablicy w Twojej klasie da się "narysować", wyciskając całą tubkę pasty do zębów? Przedstaw odpowiednie rachunki.
Styczeń sprzyjał Ligowiczom. Maksymalną ocenę (3 pkt) uzyskali: Jacek Adamski, Antonina Biela, Daria Bumażnik, Liwia Ćwiek, Adam Krasuski, Karolina Krzykawiak, Agata Kuć, Zuzanna Kumko, Antoni Machowski, Michał Martusewicz, Maria Magdalena Podolecka, Bartłomiej Polcyn, Przemysław Potok, Agata Sienicka, Adrian Słodziński, Paweł Stec, Kacper Zaraś oraz Zespół Ewa Bielak i Aleksandra Daniel.
Tym samym czołówkę Ligi Gimnazjalnej tworzą teraz:
-
z 12 pkt (na 12 możliwych): Agata Kuć z G 6 w Płocku, Antoni Machowski z G 52 w Krakowie, Adrian Słodziński z G w Miliczu oraz zespół Ewa Bielak i Aleksandra Daniel z G w Ustroniu Morskim,
-
z 11,5 pkt: Antonina Biela z G w Strzelcach Opolskich i Marcin Sidorowicz z G 49 we Wrocławiu,
-
z 11 pkt: Szymon Budzyński z G 3 we Wrocławiu, Liwia Ćwiek z G 2 w Złotoryi, Adam Krasuski z G 1 w Mosinie oraz Bartłomiej Polcyn z G w Mogilnie,
-
z 10,5 pkt - Karolina Krzykawiak z G 19 we Wrocławiu.
Gratulujemy Wszystkim!
Zad. 1. Chyba najbardziej elegancko daje się to zrobić wektorami:
oznaczmy wierzchołki trapezu przez A, B, C i D, tak że AB=a, a CD=b. Środek odcinka AD nazwijmy M, a środek BC - N. Wówczas [tex]\vec{MN}=\vec{MD}+\vec{DC}+\vec{CN}[/tex] oraz [tex]\vec{MN}=\vec{MA}+\vec{AB}+\vec{BN}[/tex]. Ponieważ [tex]\vec{MD}=-\vec{MA}[/tex], a [tex]\vec{CN}=-\vec{BN}[/tex], po dodaniu pierwszych dwóch równości stronami otrzymamy [tex]2\vec{MN}=\vec{DC}+\vec{AB}[/tex]. Jako że po prawej stronie mamy wektory o tym samym kierunku i zwrocie, długość ich sumy (złożenia) jest sumą ich długości, czyli ostatecznie [tex]MN=\frac{a+b}{2}[/tex].
Zadanie można rozwiązać również, np. korzystając z twierdzenia Talesa, ale przypadek a=b trzeba by wówczas rozpatrzyć osobno, a powyższy sposób działa dla dowolnej relacji między a i b.
Zad. 2. Liczb noworocznych postaci "nieparzysta-2011-nieparzysta" jest tyle co par nieparzystych cyfr, czyli 5·5. Liczb postaci "nieparzysta-nieparzysta-nieparzysta-2011" jest tyle co trójek cyfr nieparzystych, czyli 5·5·5. Ponieważ żadna z liczb pierwszej postaci nie jest liczbą drugiego typu, wszystkich liczb noworocznych jest 150.
Zad. 3. Wyciśnięta po linii prostej pasta stanowi walec. Jego podstawa jest taka jak wylot tubki (czyli kołem o promieniu ok. 3 mm), a objętość to objętość tubki pasty, czyli ok. 100 ml = 100 000 mm3. Długość śladu pasty na tablicy, czyli wysokośc takiego walca wynosiłaby więc mniej więcej 100 000 : 9π ≈ 3537 mm, czyli ok. 3,5 m. Szkolne tablice mają zwykle krótszą przekątną, więc jeśli tubka nie jest zbyt mała ani tablica zbyt duża, zadanie da się wykonać. Uznajemy jednak wszystkie odpowiedzi przy poprawnie przeprowadzonych rachunkach dla dowolnych sensownych danych.
O co chodzi
Czy w drugim zadaniu chodzi o zamianę trzech cyfr na liczbę 2011, czy o możłiwości zamiany poszczególnych cyfr?
Zad. 2
Treść mówi, że chodzi o "dopisanie 2011 na końcu jakiejś trzycyfrowej liczby lub zastąpienie przez 2011 jej środkowej cyfry". Czy można interpretować to na różne sposoby?