Zad. 1. Jaka jest 2007. po przecinku cyfra rozwinięcia dziesiętnego liczby 1/2008?
Zad. 2. Ile zer ma między przecinkiem a pierwszą niezerową cyfrą rozwinięcie dziesiętne liczby 2-2008?
Zad. 3. Jak używając komputerowego kalkulatora, przekonać się, czy (20072008)2007 to więcej niż (20082007)2008?
Poprawne rozwiązania 3 zadań przysłał tylko Damian Olczyk z I LO w Oleśnie, i to on prowadzi w ogólnym rankingu Ligi (12 pkt. na 12 możliwych). II miejsce zajmuje Łukasz Kajdan z SP 82 w Poznaniu (7 pkt.).
Gratulujemy!
Zad. 1. Wykonajmy po prostu dzielenie 1:2008. Nawet na bardzo dokładnym kalkulatorze komputerowym możemy jednak nie ustalić od razu okresowości. Pierwszych 30 cyfr po przecinku to 000498007968127490039840637450. Oznacza to, że 1030 podzielone na 2008 daje 498007968127490039840637450 i pewną resztę, która jest różnicą 1030 i 498007968127490039840637450·2008. Wynikiem jest 400, czyli kolejne cyfry po przecinku w liczbie 1/2008 to cyfry ilorazu 400:2008. Kalkulator pokazuje teraz 0,199203187250996015936254980079681..., więc można mieć nadzieję, że 49800796812749003984063745019920318725099601593625 jest okresem. Pewności na razie nie ma, bo przecież wśród kolejnych cyfr regularność mogłaby się zaburzyć. Sprawdźmy więc, czy reszta z dzielenia (400·1023):2008 to 1000 (taką resztę mamy, kiedy dochodzimy do pierwszej cyfry domniemanego okresu w ilorazie 1:2008). Reszta ta to różnica 400·1023 i 19920318725099601593625·2008 i rzeczywiście jest to 1000. Mamy więc już teraz pewność, że 1/2008=0,000(49800796812749003984063745019920318725099601593625). Gdyby dysponować mniej dokładnym kalkulatorem, operacje znajdowania reszty i kolejnych dzieleń do wykrycia powtórzenia trzeba by było powtórzyć więcej razy. Okres liczy 50 cyfr, więc ponieważ 2007=3+50·40+4, szukaną cyfrą będzie czwarta cyfra okresu, czyli 0. Więcej o rozwinięciach okresowych ułamków można przeczytać w artykułach w dziale MAT-ŚWIAT (Szalone liczby): 2007/2008≈1, a także się powtarza? Co się powtarza? Co... oraz się powtarza? Kiedy się powtarza? Kiedy...
Zad. 2. Na kalkulatorze otrzymujemy wynik postaci 3,40...E-605. Oznacza to, że jego przybliżeniem jest 3,40·10-605, a to z kolei mówi, że pierwszą niezerową cyfrą po przecinku jest trójka stojąca na pozycji o wadze 10-605, czyli na 605. miejscu po przecinku. Zer jest zatem 604.
Zad. 3. Zgodnie z prawami działań na potęgach (x2007)2008 = x2007·2008 = (x2008)2007, w naszym przypadku zatem zadanie sprowadza się do porównania podstaw, co można zrobić bez użycia jakiegokolwiek sprzętu, otrzymując nierówność (20072008)2007 < (20082007)2008.
