Zad. 1. Rozwiąż równanie x/[x] – 1/[x] + [x]/x = 2, gdzie [a] oznacza część całkowitą liczby a.
Zad. 2. Znajdź taką funkcję liniową f, że f(3x+4) = 2x+1 dla każdego rzeczywistego x.
Zad. 3. Udowodnij, że dla długości a, b, c boków trójkąta ostrokątnego zachodzi nierówność
√(a2+b2–c2) + √(b2+c2–a2) + √(c2+a2–b2) ≤ a+b+c.
W październiku punkty zdobyli:
• 3 pkt. – Jakub Dobrzański I LO Lubin, Mikołaj Dyblik VII LO Wrocław, Łukasz Goliczewski LO Góra, Alex Kalinowski LO Góra, Julia Musiał II LO Tczew, Marcin Wiśniewski LO Ząbkowice Śląskie, Piotr Zug I LO Olesno,
• 2,5 pkt. – Michał Tokarski II LO Oleśnica,
• 2 pkt. – Jakub Dobrzański I LO Lubin, Wiktoria Malinowska XXVII LO Warszawa, Mateusz Łakomiec XXVII LO Warszawa Józef Sendor LO VII Wrocław, Laura Stefanowska Katolickie LO Legnica, Adrian Szymański II LO Oleśnica i ;
• 1,5 pkt Jakub Wojciechowski XXVII LO Warszawa,
• 1 pkt. - Joanna Lisiowska XXI LO Warszawa i Ksawery Możdżyński VIII LO Wrocław.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Dziedziną równania są takie liczby rzeczywiste, których część całkowita jest różna od zera. Po przekształceniu otrzymujemy równanie (x – [x])2 = x, które jest sprzeczne, gdyż x–[x] ∊ {0, 1).
Zad. 2. Szukamy funkcji liniowej f postaci f(x) = ax+b, gdzie a i b są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Ponieważ f(3x+4) = 2x+1 dla każdego x rzeczywistego, to 2x+1 = a(3x+4) + b = 3ax + 4a + b. Stąd otrzymujemy układ równań 3a = 2 i 4a+b = 1, z którego obliczamy a=2/3 i b=-5/3. Wobec tego szukana funkcja liniowa to 2/3x–12/3.
Zad. 3. Oznaczając √(a2+b2–c2) = u, √(b2+c2–a2) = v oraz √(c2+a2–b2) = w i stosując nierówność między średnia arytmetyczną i kwadratową tzn. (x+y)/2 ≤ √[(x2+y2)/2], otrzymujemy u+v+w = (u+v)/2+ (v+w)/2+ (w+u)/2 ≤ √[(u2+v2)/2]+√[(v2+w2)/2] + √[(w2+u2)/2] = √(2b2/2) + √(2c2/2) +√(2a2/2) = a+b+c, co należało wykazać.
