Zad. 1. x=999...9 (123 dziewiątki). Jaka jest największa potęga trójki, która dzieli liczbę x?
Zad. 2. Rozwiąż równanie: |||...|x-1|-2|-3|...-2008|=0.
Zad. 3. Przekątne czworokąta wypukłego ABCD przecinają się w punkcie O. Pole trójkąta ABO wynosi 3, BCO - 5, a CDO - 8. Jakie pole ma trójkąt ADO?
Zadania październikowe bezbłędnie (3 pkt.) rozwiązali:
Michalina Sieradzka z G 49 we Wrocławiu, Arkadiusz Wróbel z G w Brwinowie, Justyna Wozowczyk i Maciej Niemczyk z I LO w Lubinie, Rafał Chojna z Prywtnego LO w Lublinie, Michał Lankof z II LO w Starachowicach i Jonatan Stokłosa z I LO w Legnicy.
Gratulujemy!
Zad. 1. x/9 = 111...1 (123 jedynki), a ta liczba jest podzielna przez 3, ale nie przez 9, zatem x dzieli się przez 27, a przez 81 nie.
Zad. 2. Równoważnie mamy alternatywę: |||...|x-1|-2|-3|...-2006|-2007=2008 lub |||...|x-1|-2|-3|...-2006|-2007=-2008. Druga równość nie jest możliwa, bo wartość bezwględna nie może być ujemna. Mamy więc |||...|x-1|-2|-3|...-2006|=2008+2007, skąd |||...|x-1|-2|-3|...-2005|-2006=2008+2007 lub |||...|x-1|-2|-3|...-2005|-2006=-(2008+2007) i analogicznie otrzymujemy |||...|x-1|-2|-3|...-2005|=2008+2007+2006. Postępując tak samo ponad 2000 razy (ile dokładnie?), dochodzimy do równania |x-1|=2008+2007+...+2, skąd x=2008+2007+...+1 lub x=-(2008+2007+...+2)+1. Pierwsze rozwiązanie możemy wyliczyć, grupując w pary składniki: x=(2008+1)+(2007+2)+...+(1005+1004), czyli x=2009?1004=2017036, a korzystając z tego wyniku, znajdujemy łatwo drugie rozwiązanie: x=-(2017036-1)+1=-2017034.
Zad. 3. Zauważmy, że wysokość DD1 trójkąta CDO jest zarazem wysokością trójkąta ADO, więc pole ADO ma się do pola CDO jak AO do CO. Z kolei ten stosunek jest taki sam jak stosunek pól trójkątów ABO i BCO (ponieważ one również mają wspólną wysokość), a ten wynosi 0,6. Odpowiedzią jest więc 0,6·8=4,8.
