Zad. 1. Dla zbiorów A i B zbiór obiektów spełniających alternatywę "nie należy do A i należy do B lub należy do A i nie należy do B" (czyli prostu należących albo do A, albo do B) to tzw. różnica symetryczna A i B (skąd ta nazwa?), oznaczana często przez A Δ B. Jakim zbiorem jest RΔTΔRΔTΔRΔ...ΔT, jeśli R to zbiór liczb rzeczywistych, T - niewymiernych, a trójkącików jest w tym zapisie 2011?
Zad. 2. W pudełku Tomka są trzy kredki zielone, trzy żółte i trzy niebieskie. Tomek wyciaga na chybił trafił trzy z nich. Jaka jest szansa, że używając ich, będzie mógł pokolorować coś na zielono?
Zad. 3. Krasnoludki K1 i K2 startują z punktu S i każdy 2011 razy wykonuje sekwencję ruchów: prostoliniowy przemarsz o 2 jednostki, obrót o 90º w lewo, przemarsz do przodu o 3, obrót o 90º w prawo, przemarsz do tyłu o 1, obrót o 90º w prawo, przemarsz naprzód o 2, obrót o 90º w prawo i przejście do przodu o 1. W jakiej odległości mogą stać teraz krasnoludki?
Komplet 3 pkt za nadesłane rozwiązania zadań marcowych otrzymują: Piotr Bartoszek z III LO w Kaliszu, Paweł Sikora z IV LO we Wrocławiu oraz Karolina Łagoda, Marek Mika, Michał Stroka i Michał Tomański z II LO w Opolu.
Biorąc pod uwagę dotychczasowe wyniki, w czołówce Ligi znajdują się:
- z 18 pkt (na 18 możliwych!) - Michał Tomański (II LO Opole),
- z 16,5 pkt - Piotr Bartoszek (III LO Kalisz) i Marek Mika (II LO Opole),
- z 16 pkt - Bartosz Pawliczak (LO Góra),
- z 15,5 pkt - Agnieszka Lewicka (II LO Opole),
- z 15 pkt - Adam Balawender (ZSO Strzegom), Karolina Łagoda (II LO Opole) i Arek Wróbel (XIV LO Warszawa),
- z 14,5 pkt - Michał Pilarczyk (I LO Wieluń),
- z 14 pkt - Dorota Mularczyk (III LO Kalisz),
- z 13 pkt - Michał Stroka (II LO Opole) i Tomasz Skalski (III LO Wrocław),
- z 12 pkt - Paweł Sikora (IV LO Wrocław).
Wszystkim gratulujemy!
Zad. 1. Zauważmy, że dla dowolnych zbiorów AΔBΔA=B i podobnie AΔAΔB, z kolei AΔA=Ø. Podane w zadaniu działanie daje zatem zbiór pusty.
Zad. 2. Ponieważ kolor zielony można wygenerować przy użyciu kredki żółtej i niebieskiej, Tomkowi nie uda się, tylko gdy wyciągnie trzy kredki żółte lub trzy niebieskie, czyli w dwóch przypadkach, natomiast wszystkich rezultatów losowania jest tyle co trójelementowych podzbiorów dziewięcioelementowego zbioru kredek, czyli 9·8·7/6 = 84 (wybieramy jeden element, potem drugi (z 8 pozostałych), potem trzeci, przy czym efekt wyboru nie zależy od ich kolejności, a każdy wybór można zrealizować na 6 sposobów). Szansa, że Tomkowi się uda, to zatem (84-2)/84 = 41/42.
Zad. 3. Każdy krasnoludek po dwóch (a więc i po dowolnej parzystej liczbie) takich sekwencjach ruchów znajdzie się w położeniu początkowym, natomiast po kolejnym ciągu tych samych przesunięć - w odległości 1 od punktu startu. Ponieważ kąt między wektorami ich pierwszych przesunięć może być dowolny, w rezultacie mogą się znaleźć w odległości będącej dowolną liczbą z przedziału <0, 2>.
Nieprecyzyjne polecenie
Zad. 3. Krasnoludki K1 i K2 startują z punktu S i każdy 2011 razy wykonuje sekwencję ruchów: prostoliniowy przemarsz o 2 jednostki, obrót o 90º w lewo, przemarsz do przodu o 3, obrót o 90º w prawo, przemarsz do tyłu o 1, obrót o 90º w prawo, przemarsz naprzód o 2, obrót o 90º w prawo i przejście do przodu o 1. W jakiej odległości mogą stać teraz krasnoludki? W odpowiedzi mamy, iż: w rezultacie mogą się znaleźć w odległości będącej dowolną liczbą z przedziału <0, 2>. W istocie z pewnością tak by było, gdyby każda parzysta liczba sekwencji prowadziła do położenia początkowego, jednakże w poleceniu nie było sprecyzowane, w którą stronę odbywa się pierwszy ruch, gdyż prostoliniowy przemarsz to nie to samo, co przemarsz do przodu (przed siebie), ale za każdym razem może to być ruch w inną stronę (chodzi jedynie o to, aby poruszać się w linii prostej, a nie wykonując ruch prostą łamaną), np. przemarsz w prawo lub w lewo (warto zauważyć, że kierunki następnych wektorów są już podane). W związku z tym w odpowiedzi podałem, iż może to być przedział <0; 4022> (jest 2011 ruchów), za co otrzymałem 0,5 pkt. Proszę o rozwianie moich wątpliwości dotyczących ruchu prostoliniowego i mojej ostatecznej odpowiedzi.
Zad. 3
Uważamy, że jeśli nic nie jest napisane o kierunku ruchu, to należy przyjąć, że krasnoludek porusza się naprzód (czyli w chyba najnaturalniejszy sposób). Kierunek pierwszego przesunięcia nie ma jednak znaczenia, ważne jest tylko to, że po całej sekwencji ruchów krasnoludek startuje ze swojego aktualnego położenia, dzięki czemu po wykonaniu drugiej wróci właśnie do położenia początkowego.
Zad. 3
Uważamy, że jeśli nic nie jest napisane o kierunku ruchu, to należy przyjąć, że krasnoludek porusza się naprzód (czyli w chyba najnaturalniejszy sposób). Kierunek pierwszego przesunięcia nie ma jednak znaczenia, ważne jest tylko to, że po całej sekwencji ruchów krasnoludek startuje ze swojego aktualnego położenia, dzięki czemu po wykonaniu drugiej wróci właśnie do położenia początkowego. W istocie można było się domyślić, że kierunek ruchu prostoliniowego jest "naprzód", gdyż także początkowo przyjąłem taką wersję, jednakże po dłuższym zastanowieniu stwierdziłem, iż może być również inaczej (skłonił mnie do tego brak wyraźnego stwierdzenia, że ruch prostoliniowy odbywał się "naprzód", "przed siebie", "do przodu" itp.), i gdyby przyjąć, że nie musi się poruszać "naprzód", to wtedy wcale nie musi także wracać do położenia początkowego. Wynika to z faktu, że każda kolejna sekwencja rozpoczyna się właśnie ruchem prostoliniowym i w związku z tym każda kolejna sekwencja może rozpoczynać się ruchem w inną stronę, bo ruch prostoliniowy nie musi odbywać się zawsze w tę samą stronę (gdyby ruchy prostoliniowe krasnoludka K1 były następujące: prawo i kolejne w tył, a K2: lewo i kolejne w tył, to odległość wynosiłaby 4022, bo za każdym razem oddalaliby się od siebie o 2 jednostki).