Zad. 1. Z rogu lodowiska w kształcie prostokąta o wymiarach 20 × 60 m wypuszczono pod kątem 45° do band kamień curlingowy. Jaką drogę pokona, zanim wróci do tego punktu, zakładając, że porusza się idealnie?
Zad. 2. Ile jest ułamków o liczniku i mianowniku ze zbioru {1, 2, 3, ..., 2009}, których wartość jest między 1 a 2?
Zad. 3. Znajdź wszystkie liczby pierwsze, które są postaci 4x2–y2 dla pewnych całkowitych x i y. Uzasadnij!
W marcu maksymalną punktację (3 pkt.) uzyskali: Daniel Danielski, Antoni Machowski, Karol Sala, Adrian Słodziński i Arkadiusz Wróbel.
Czołówkę Ligi Gimnazjalnej stanowią teraz:
- z 17,5 pkt. na 18 możliwych - Daniel Danielski z Gim. 1 w Zgorzelcu i Antoni Machowski z Gim. 52 w Krakowie,
- z 17 pkt. - Karol Sala z ZSP-G 2 w Piotrowicach i Arkadiusz Wróbel z Gim. 2 w Brwinowie,
- z 16,5 pkt. - Natalia Marcinkiewicz z Gim. "Omega" w Katowicach,
- z 16 pkt. - Adrian Słodziński z Gim. w Miliczu,
- z 15 pkt. - Bartłomiej Kaliciak z Gim. 1 w Oświęcimiu.
Gratulujemy!
Zad. 1. Kamień, przebywszy przekątne trzech kwadratów o boku 20 m, dotrze do przeciwległego rogu, po czym odbije się i wróci po tej samej drodze. Pokona zatem 120√2 m.
Zad. 2. Nie ma takich ułamków o mianowniku 1, a z mianownikiem 2 jest jeden (3/2). Zwróćmy przy okazji uwagę na fakt, że np. 3/2 i 6/4 to różne ułamki (ale oznaczające tę samą liczbę). Jeśli mianownikiem jest n, w grę wchodzą liczniki ze zbioru {n+1, n+2, n+3, ..., 2n-1}. Dla kolejnych n najmniejszy element tego zbioru rośnie o 1, a największy o 2, czyli przybywa mu po jednym elemencie, należy jednak uwzględnić jeszcze fakt, że licznik nie może przekroczyć 2009. Zatem liczba możliwych liczników dla kolejnych n>1005 maleje o 1 i odpowiedzią jest wartość sumy (1+2+...+1003+1004)+(1003+1002+...+1), czyli – co widać po pogrupowaniu parami 1+1003, 2+1002, ..., 1003+1 – 1003·1004+1004=10042=1008016.
Zad. 3. Ponieważ zamiana w danym wyrażeniu x i y na przeciwne nie zmienia jego wartości, wystarczy rozpatrzyć x i y nieujemne. 4x2–y2=(2x–y)(2x+y), więc aby była to liczba pierwsza, czynniki muszą być różne i mniejszy z nich (czyli pierwszy, bo w takim razie y>0) musi być jedynką, a większy liczbą pierwszą. Mamy więc y=2x–1 i 4x2–y2=1·(4x–1), zatem odpowiedzią są liczby pierwsze postaci 4x–1 dla x całkowitych (czyli dające przy dzieleniu przez 4 resztę 3).
