Zad. 1. Znajdź wszystkie funkcje o dziedzinie i przeciwdziedzinie rzeczywistej spełniające dla dowolnych x, y równość f(x+y)=f(f(x))+y+1.
Zad. 2. Znajdź wszystkie funkcje o dziedzinie i przeciwdziedzinie całkowitej spełniające dla dowolnego x równość f(f(x))=x+1.
Zad. 3. Wykaż, że gdy pomnożymy sumę trzech dodatnich liczb rzeczywistych przez sumę ich odwrotności, otrzymamy co najmniej 8.
W tym miesiacu za rozwiązania zadań nie przyznano punktów.
Zad. 1. Jeśli podstawimy 0 za x, otrzymamy f(y) = f(f(0))+1+y. Wyrażenie f(f(0))+1 jest pewną stałą, oznaczmy ją przez a. Dla dowolnego y mamy zatem f(y) = y+a. Jeżeli tę funkcję podstawimy do wyjściowego równania, otrzymamy x+y+a = x+2a+y+1, skąd wynika, że a = -1. Wobec tego funkcja f(x) = x–1 jest jedyną kandydatką na spełnianie warunków zadania. Należy sprawdzić, że faktycznie spełnia ona podane równanie.
Zad. 2. Rozważmy f(f(f(x))). Z jednej strony, f(f( f(x) )) = f(x)+1, a z drugiej f( f(f(x)) ) = f(x+1). Skoro więc f(x)+1 = f(x+1), a dziedziną jest zbiór liczb całkowitych, to f(x) = f(0)+x. Wtedy x+1 = f(f(x)) = 2f(0)+x, czyli 2f(0) = 1, co daje sprzeczność, zatem takich funkcji nie ma.
Zad. 3. Z nierówności między średnią arytmetyczną a harmoniczną wiemy, że 1/3(a+b+c) ≥ 3/(1/a+1/b+1/c). Z tej nierówności natychmiast wynika teza.
