Zad. 1. Znajdź najmniejszą liczbę naturalną mającą tę własność, że jeżeli obliczymy sumę jej cyfr, a potem znów obliczymy sumę cyfr otrzymanego wyniku itd, to dopiero czwarta suma będzie liczbą jednocyfrową i równą 1.
Zad. 2. Ile ułamków mających licznik lub mianownik równy 7 można znaleźć między ułamkami 8/9 i 11/12?
Zad. 3. Wykaż, że jeśli m jest liczbą naturalną, to liczba [tex]\sqrt{8m+5}[/tex] jest niewymierna.
W maju punkty zdobyli:
- – Bartłomiej Bychawski G Akademickie PWr, Maciej Płonka G Akademickie PWr, Jakub Dobrzański G 3 Lubin, Julia Grzyb G Wieliszew, Igor Hołowacz G Akademickie PWr, Jan Jancewicz G Akademickie PWr, Łukasz Janiak G Akademickie PWr, Alex Kalinowski G Dwujęzyczne Góra, Tomasz Lefler ZSS Wołów, Laura Stefanowska G im. Św. Franciszka z Asyżu Legnica, Michał Piórkowski G Urszulanek Wrocław, Michał Szwej G Dwujęzyczne Chorzów i Julia Waleńdzik PG 1 Brzeg Dolny;
- – Szymon Bar PG 1 Głogówek;
- – Julia Mazur G Lewin Brzeski;
- – Mikołaj Mastaliński G Akademickie PWr i Kacper Słoniec G 52 Kraków.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad.1. Czwarta suma wynosi 1, więc trzecia to co najmniej 10, druga co najmniej 19, a pierwsza 199. Szukana liczba to 19999999999999999999999 (liczba 23-cyfrowa). Gdyby trzecia suma była równa 100, to szukana liczba miałaby więcej niż 23 cyfry. Gdyby druga suma była większa niż 19, to pierwsza suma byłaby czterocyfrowa, a szukana liczba byłaby większa. Gdyby pierwsza suma była większa niż 199, to i szukana liczba byłaby większa.
Zad. 2. Takie ułamki nie istnieją. Sprowadźmy ułamki do wspólnego licznika. NWW(7, 8, 11) = 616, więc 8/9 = 616/693 oraz 11/12 = 616/672. Aby znaleźć ułamek o liczniku 7 leżący między 8/9 i 11/12 należy znaleźć liczbę leżącą pomiędzy 672 i 693 dzielącą się przez 8 . 11 = 88. Ale 7 . 88 = 616 < 672 i 8 . 88 = 704 > 693. Tak więc w tym przypadku nie istnieje ułamek o własnościach opisanych w zadaniu. Analogicznie uzasadniamy, ze nie istnieje taki ułamek o mianowniku równym 7.
Zad. 3. Jeżeli n jest liczbą naturalną, to [tex]\sqrt{n}[/tex] jest liczbą wymierną wtedy i tylko wtedy, gdy n jest kwadratem liczby całkowitej. Przypuśćmy zatem, że [tex]\sqrt{8m+5}[/tex] jest liczbą wymierną. Wtedy 8m + 5 jest kwadratem pewnej liczby nieparzystej. Jednakże kwadraty liczb nieparzystych dają przy dzieleniu przez 8 resztę 1, nie dają więc reszty 5. Zatem [tex]\sqrt{8m+5}[/tex] jest liczbą niewymierną.
