Zad. 1. W trójkącie ABC, w którym |AB| = 1, |BC| = √2 i |∡ABC| = 90o, poprowadzono wysokość BD. Oblicz długość wysokości trójkąta BCD opuszczonej z wierzchołka D.
Zad. 2. Znajdź liczby naturalne n, dla których wyrażenie [tex]3^n+3^n+ \sqrt{3^n+3^n+3^n }[/tex] można zapisać w postaci potęgi liczby 3 o wykładniku naturalnym.
Zad. 3. Dla dowolnych liczb a i b oraz dowolnego kąta ostrego α zachodzi nierówność:
a2+ b2 + 1 ≥ 2(a sinα + b cosα).
Jaki warunek musi być spełniony, aby zachodziła równość?
W lutym punkty zdobyli:
- 3 pkt. – Bartłomiej Zug LO Oleśno, i Jakub Dobrzański LO I Lubin;
- 2,5 pkt. – Joanna Lisiowska XXI LO Warszawa;
- 1,5 pkt. - Mikołaj Dyblik LO 7 Wrocław;
- 1 pkt. – Filip Ejsmund LO 6 Wrocław i Mikołaj Zapotoczny LO Ząbkowice Śl.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Oznaczmy a = |BE| i x = |ED|. Z podobieństwa trójkątów ABC i DEC wynika, że |AB|/|BC| = |DE|/|EC|, czyli 1/√2 = x/√2–a, a stąd x√2 = √2–a. Niech miara kąta BCA wynosi α. Wówczas |∡DBC| = 90°–α i |∡BDE| = 90° – (90°–α) = α, więc trójkąty ABC i BED są także podobne (z cechy kkk). Stąd mamy |AB|/|BC| = |BE|/|ED|, czyli 1/√2 = a/x, a stąd a = x/√2, co podstawione do poprzedniej równości daje x√2 = √2 – x/√2, czyli x = 2/3.
Zad. 2. Szukamy liczb naturalnych n, dla których prawdziwa jest równość [tex]3^n+3^n+ \sqrt{3^n+3^n+3^n }=3^k,[/tex] dla pewnego k ϵ N. Przekształcając ją, otrzymujemy [tex]2\cdot3^n+ \sqrt{3\cdot 3^n}=3^k[/tex] i dalej [tex]2\cdot 3^n+\sqrt{3^{n+1}}=3^k[/tex].
Aby lewa strona była całkowita, liczba n+1 musi być parzysta, czyli n+1 = 2m, gdzie m ϵ N. Zatem n = 2m–1. Podstawiając tę wartość do równania, otrzymujemy 2.32m-1 + 3m = 3k, skąd 3m (2.3m-1 + 1) = 3k. Dla m–1 > 0, czyli m>1, liczba 2.3m-1+1 nie dzieli się przez 3, więc równanie jest sprzeczne. Dla m–1 = 0 mamy n=1, dla którego [tex]3^1+3^1+\sqrt{3^1+3^1+3^1 }=9=3^2[/tex] i jest to jedyna wartość n spełniająca warunki zadania.
Zad. 3. Przekształcając równoważnie podaną nierówność, otrzymujemy a2+ b2 + 1 – 2(asinα + bcosα) ≥ 0. Lewą stronę nierówności można dalej równoważnie zapisać jako
a2+ b2 + sin2α + cos2α – 2asinα – 2bcosα = (a–sinα)2 + (b–cosα)2,
co jest sumą dwóch liczb nieujemnych. Zatem równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy oba składniki są zerami, czyli dla a = sinα i b = cosα.
