luty 2016

Data ostatniej modyfikacji:
2018-09-16

Zad. 1. Pokaż, że liczba (21+1)·(22+1)·(24+1)·(28+1)·...·(264+1) jest podzielna przez (2128–1).

Zad. 2. Czy do wykresu funkcji y = x√3+√2 należą jakieś punkty kratowe tzn. punkty o obu współrzędnych całkowitoliczbowych?

Zad. 3. Udowodnij, że jeśli suma wysokości trójkąta jest dziewięć razy większa od promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt, to trójkąt jest równoboczny.

 

Wyniki: 

W tym miesiącu punkty zdobyli:

  • 3 - Kamila Bojar ZSP Szprotawa, Bartosz Czyżewski I LO Jelenia Góra, Kamil Demczyszyn Lotnicze Zakłady Naukowe Wrocław, Beata Janiak III LO Opole, Alina Langa I LO Oleśnica, Szymon Meyer II LO Opole, Błażej Mrzygłód Techn. nr 5 Opole, Mateusz Rzepecki III LO Wrocław, Николай Шамаев 131 Szkoła Ogólnokształcąca Charków (Ukraina) i Tomasz Stempniak I LO Ostrów Wielkopolski;
  • 2,5 - Konrad Bratek I LO Lwówek Śląski i Wojciech Wiśniewski I LO Giżycko;
  • 2 - Krzysztof Bednarek III LO Wrocław, Elżbieta Gontarz I LO Oleśnica, Dawid Hanrahan I LO Brzeg, Michał Kępiński Społeczne LO Żary i Karol Kowalski I LO Kraków.

Pozostałym uczestnikom nie przyznano punktów.

Po pięciu miesiącach Ligi Zadaniowej z wynikiem 15 pkt. (na 15 możliwych) prowadzą: Bartosz CzyżewskiНиколай Шамаев i Tomasz Stempniak. Drugie miejsce z wynikiem 14 pkt. zajmują: Szymon Meyer i Wojciech Wiśniewski. Trzecie miejsce z wynikiem 13,5 pkt. zajmują: Dawid Hanrahan i Alina Langa. Gratulujemy!

 

Odpowiedzi: 

Zad. 1. Korzystając wielokrotnie ze wzoru skróconego mnożenia (a-b)·(a+b)=a2-b2 dostaniemy
           (21-1)·(21+1)·(22+1)·(24+1)·(28+1)·...·(264+1)=(2128-1).
Stąd widać, że ta liczba jest podzielna przez (2128-1), ponieważ jest ona równa (2128-1).

Zad. 2. Załóżmy, że taki punkt kratowy istnieje i jest równy (x,y). Wtedy podnosząc obustronnie do kwadratu równanie y-√2=x√3 i robiąc odpowiednie przekształcenia przy założeniu, że y≠0 dostaniemy √2=y/2+1/y-3/2y·x2. Co jest niemożliwe ponieważ √2 jest liczbą niewymierną, a prawa strona równania jest liczbą wymierną. W przypadku punktu kratowego (x,0) dostajemy -√2=x√3, czyli x=-2/3 jest niewymierny co przeczy założeniu. Podsumowując nie istnieje punkt kratowy należący do wykresu tej funkcji.

Zad. 3. Niech ha, hb i hc oznaczają wysokości tego trójkąta opuszczone odpowiednio na boki a, b i c. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt można obliczyć ze wzoru r=2P/a+b+c, gdzie P oznacza pole tego trójkąta. Z założenia mamy ha+hb+hc=9r, uwzględniając wzory na pole trójkąta P=0,5aha=0,5bhb=0,5chc, dostaniemy 2P/a+2P/b+2P/c=9·2P/a+b+c. Przekształcając dalej dostaniemy 1/a+1/b+1/c=3·3/a+b+c i następnie a+b+c/3=3·(1/a+1/b+1/c)-1. Ostatnie równanie zawiera po lewej stronie średnią arytmetyczną, a po prawej stronie średnią harmoniczną, z nierówności Cauchy'ego wiemy, że równość taka zachodzi tylko dla a=b=c, czyli jest to trójkąt równoboczny.

 

Zad. 1.

W zadaniu 1 był oczywisty błąd. Dziękujemy za zwrócenie uwagi.Treść zadania została poprawiona.

Powrót na górę strony