Zad. 1. Wyrażenie [tex]\sqrt{x(x-1)(x-2)}[/tex] ma sens tylko dla [tex]x\in\langle0,1\rangle\cup\langle2,\infty)[/tex].
Podaj wyrażenie, które ma sens tylko dla [tex]x\in(0,1\rangle\cup\{2\}\cup(3,4\rangle[/tex].
Zad. 2. Czy przez każdy punkt w układzie współrzędnych przechodzi prosta, na której leżą: punkt o obu współrzędnych wymiernych, punkt o obu współrzędnych niewymiernych, punkt o wymiernej pierwszej i niewymiernej drugiej współrzędnej oraz punkt o niewymiernej pierwszej i wymiernej drugiej współrzednej?
Zad. 3. Niech PQ będzie cięciwą danego okręgu. Przez jej środek Ś poprowadzono cięciwy AB i CD. Odcinek PQ przecina AD w X, a BC w Y. Udowodnij, że Ś jest środkiem odcinka XY.
Zadania z Ligi Ponadgimnazjalnej wydają się coraz trudniejsze - w lutym znowu żaden Ligowicz nie zdobył 3 pkt, a 2 pkt przyznaliśmy jedynie Maciejowi Cebuli, Robertowi Czwartoszowi i Pawłowi Kotysiowi.
Czołówkę rankingu tworzą więc aktualnie:
- z 12 pkt na 15 możliwych - Paweł Kotyś z I LO w Oleśnie i Arkadiusz Wróbel z XIV LO w Warszawie,
- z 11 pkt - Robert Czwartosz z LO w Trzebnicy,
- z 10,5 pkt - Maciej Cebula z I LO w Oleśnie,
- z 9 pkt - Bartosz Pawliczak z LO w Górze,
- z 8,5 pkt - Tomasz Skalski z III LO we Wrocławiu.
Gratulujemy!!!
Zad. 1. Np. [tex]\sqrt{-x(x-4)}+\sqrt{(x-1)(x-2)}+\sqrt{(x-2)(x-3)}+\frac{1}{x(x-3)}[/tex].
Zad. 2. Wybierzmy punkt (a, b). Jeśli obie te liczby są wymierne, to prosta y=√2(x-a)+b, przechodząca przez punkty (a, b), (a+1, b+√2), (a+√2, b+2) i (a+√3, b+√6), spełnia warunki zadania. Jeśli a jest wymierne, a b nie, to warunki zadania spełnia prosta y=b(x-a)+b, ponieważ oprócz (a, b) przechodzi przez (a-1, 0), (a-1+1/b, 1) i (a+1/b, b+1). Jeśli b jest wymierne, a a nie, to sytuacja jest w pewnym sensie symetryczna do ostatniej, więc również istnieje opisana w zadaniu prosta (o równaniu x=a(y-b)+a). Jeśli wreszcie a i b są niewymierne, to rozważmy prostą y=bx/a. Jeśli b/a jest liczbą niewymierną, to jest to przykład szukanej prostej, ponieważ przechodzi ona przez (0, 0), (1, b/a), (a/b, 1) i (a, b), w przeciwnym razie z kolei rozwiązanie daje np. y=(b-1)x/a+1, ale znalezienie przykładowych punktów pozostawiamy Zawodnikom!
Rozumowanie powyższe można zastąpić istotnie krótszym, jeśli skorzysta się z faktu, że liczb niewymiernych jest w pewnym sensie więcej niż wymiernych, tzn. że nie istnieje funkcja przyporządkowująca wszystkim liczbom niewymiernym liczby wymierne różnowartościowo, i za takie rozwiązania również przyznajemy pełną pulę punktów.
Zad. 3. Opisany w treści fakt nosi nazwę twierdzenia o motylu (butterfly theorem) i w Internecie można znaleźć wiele jego ciekawych dowodów.
To jest śmieszne
Dla mnie to jest co najmniej śmieszne. Od uczestników wymagacie zacytowania dowodu znanego twierdzenia lub jego wymyślenia, a sami nawet nie możecie skopiować treści z internetu? Nie mogłem tego w całym internecie znaleźć, Za rok miałem zamiar wystartować, ale z uwagi na organizację, chyba sobie odpuszczę.
Słuszna decyzja
Podjąłeś gościu słuszną decyzje, bo chyba tylko byś się ośmieszył. Ile Ty masz lat, że prostej rzeczy w necie nie potrafisz znaleźć? Zajrzyj choćby do Wikipedii http://en.wikipedia.org/wiki/Butterfly_theorem
Zresztą po wpisaniu do Google'a 'butterfly theorem' wyskakuje mnóstwo wyników. A swoją drogą twierdzenie dotyczy elementarnej geometrii euklidesowej i jest spokojnie w zasięgu licealisty, a nawet rozgarniętego gimnazjalisty.