Zad. 1. Definiujemy ciąg liczb w następujący sposób: x0 jest pewną dodatnią liczbą całkowitą, natomiast każdy następny wyraz xn jest równy xn–1/3, jeśli xn–1 dzieli się przez 3, a 4xn–1+2 w przeciwnym wypadku. Czy istnieje takie x0, żeby pewne cztery kolejne elementy ciągu spełniały warunek: xk < xk+1 < xk+2 < xk+3? Uzasadnij!
Zad. 2. Na okręgu wybrano 6 punktów i każdy z każdym połączono odcinkiem. Jaką najmniejszą liczbę tych odcinków należy pokolorować na czerwono, aby z każdego z punktów dało się przejść do każdego innego czerwoną drogą złożoną z najwyżej dwóch odcinków? Uzasadnij!
Zad. 3. Oblicz objętość bryły, którą utworzą punkty prostokąta o wymiarach 3×4 przy jego obrocie wokół przekątnej.
Zadania lutowe okazały się nad wyraz trudne! Odejmowaliśmy po pół punktu za rozwiązania zad. 3, jeśli wynik podano tylko w przybliżeniu, oraz zad. 2, jeśli brakowało uzasadnienia minimalności liczby 5. Maksymalną punktację (3 pkt.) osiągnęli mimo to Karol Sala i Arkadiusz Wróbel. Po 2,5 pkt. zdobyli Daniel Danielski, Antoni Machowski i Natalia Marcinkiewicz.
W Lidze Gimnazjalnej prowadzą aktualnie:
- z 14,5 pkt. na 15 możliwych - Daniel Danielski z Gim. 1 w Zgorzelcu i Antoni Machowski z Gim. 52 w Krakowie,
- z 14 pkt. - Natalia Marcinkiewicz z Gim. "Omega" w Katowicach, Karol Sala z ZSP-G 2 w Piotrowicach i Arkadiusz Wróbel z Gim. 2 w Brwinowie,
- z 13 pkt. - Adrian Słodziński z Gim. w Miliczu,
- z 12,5 pkt. - Bartłomiej Kaliciak z Gim. 1 w Oświęcimiu.
Gratulujemy!
Zad. 1. Trzy kolejne wyrazy ciągu musiałyby być niepodzielne przez 3. Gdyby pierwszy z nich dawał przy dzieleniu przez 3 resztę 1, następny byłby postaci 4(3k+1)+2=3(4k+2), więc dzieliłby się przez 3. Gdyby pierwszy dawał resztę 2, następny byłby postaci 4(3k+2)+2=3m+1, więc przy następnym zaszedłby poprzednio rozpatrzony przypadek. Sytuacja opisana w zadaniu jest więc niemożliwa.
Zad. 2. Jeśli punkty te oznaczyć kolejno przez A, B, C, D, E, F, to odcinki AD, BE i CF spełniają warunki zadania, a żadne dwa oczywiście nie.
Za poprawne uważaliśmy również rozwiązania, których autorzy rozumieli, że opisana w zadaniu droga musi składać się z dwóch odcinków łączących dane punkty. Wówczas jest ich potrzebnych co najmniej pięć (bo gdyby było mniej, pewne dwa punkty nie miałyby w ogóle połączenia - dwa odcinki dają połączenia danego punktu z maksymalnie dwoma innymi, trzy - z trzema itd.), natomiast pięć wystarcza, bo wszystkie można poprowadzić np. z punktu A, co jest rozwiązaniem zadania.
Zad. 3. Opisana bryła ma płąszczyznę symetrii i każda z jej połówek składa się ze stożka o wysokości 1,8 i promieniu podstawy 2,4 oraz przyklejonego do niego podstawą stożka ściętego powstającego z wycięcia ze stożka o wysokości 3,2 stożka o wysokości 2,5. Szukana objętość to zatem [tex]2\cdot\frac{1}{3}(\pi\cdot2,4^2\cdot1,8+\pi\cdot2,4^2\cdot3,2-\pi\cdot(\frac{2,5}{3,2}\cdot2,4)^2\cdot2,5)=[/tex]
[tex]= \frac{2}{3}\pi\cdot2,4^2\cdot(1,8+3,2-\frac{2,5^3}{3,2^2})=3,84\pi\cdot\frac{7115}{2048}=\frac{4269}{320}\pi[/tex].
