Zad. 1. Jakie liczby pierwsze są różnicami kwadratów dwóch liczb naturalnych?
Zad. 2. Na okręgu wybrano 101 punktów: P1, P2, ..., P101. Niektóre z nich połączono odcinkami, które następnie pokolorowano na niebiesko lub zielono. Niech a1 oznacza liczbę niebieskich odcinków o jednym z końców w P1, a2 - liczbę niebieskich odcinków o jednym z końców w P2 itd. Udowodnij, że
a1+a2+...+a101$\neq$2007.
Zad. 3. We wnętrzu kuli umieszczono czworościan. Na ile maksymalnie części dzielą sferę płaszczyzny jego ścian?
Poprawne rozwiązania 2 zadań nadesłała Michalina Sieradzka z Gimnazjum nr 49 we Wrocławiu. Gratulujemy!
Michalina prowadzi również w sumarycznej klasyfikacji Ligi (10,5 pkt. na 15 mozliwych).
Zad. 1. Zapiszmy szukane liczby jako n2-m2. Jeśli m=0, to liczba ta nie może być pierwsza. Rozpatrzmy więc m>0 i zapiszmy nasze liczby jako (n-m)(n+m). Widać więc, że są to liczby pierwsze wtedy i tylko wtedy, gdy n-m=1 (bo n+m jest większym dzielnikiem tej liczby). Wówczas można je zapisać w postaci n2-(n-1)2=2n-1 i ponieważ n może być dowolne naturalne,większe od 1, wartości te dają wszystkie liczby nieparzyste większe od 1, więc również wszystkie liczby pierwsze poza dwójką.
Zad. 2. Zauważmy, że w sumie a1+a2+...+a101 zliczony jest dwukrotnie każdy niebieski odcinek (w obu swoich końcach), zatem suma ta jest parzysta.
Zad. 3. Płaszczyzny te tworzą "rynienki" nad każdą krawędzią (6 szt.), "wanienki" nad każdą ścianą (4 szt.) i "rożki" - kąty bryłowe nad każdym wierzchołkiem (4 szt.). Każda z tych figur może wyciąć część sfery i będą to części o rozłącznych wnętrzach. Jest ich 14.
