Zad. 1. Wyznacz wszystkie takie trójki liczb pierwszych, w których suma pierwszej z nich i kwadratu drugiej jest równa czwartej potędze trzeciej z nich.
Zad. 2. Wybrano cztery różne liczby pierwsze, przy czym najmniejsza i największa z nich różnią się o mniej niż 10. Jakie liczby wybrano, jeśli wiemy, że ich suma nie dzieli się przez 60?
Zad. 3. Dla jakich par liczb całkowitych zachodzi (x2+y2)/(x+y) = 10?
W tym miesiącu punkty otrzymali:
- 18 - Aleksander Porębny (SP 113 Wrocław),
- 8 - Igor Sudyka (SP 2 Jasło).
Zad. 1. Zachodzi p = r4–q2 = (r2+q)(r2–q), czyli r2–q = 1, a r2+q = p. Ponieważ r2–q = 1, mamy q = (r–1)(r+1), czyli r+1 = q. Jedyne kolejne liczby pierwsze to 2 i 3. Z powyższych równości wyznaczamy p=5.
Zad. 2. Sprawdzamy, że jeśli wśród liczb z zadania jest 5, założenia są spełnione. Jeżeli natomiast wszystkie wybrane liczby pierwsze są większe od 5, muszą występować wśród pięciu kolejnych liczb nieparzystych. Ponieważ w pierwszej trójce i w ostatniej trójce musi znajdować się liczba złożona podzielna przez trzy, wnioskujemy, że wielokrotnością trójki będzie wyłącznie środkowa liczba. Analogicznie liczba środkowa musi być podzielna przez 5. Zatem wybrane liczby pierwsze mają postać p, p+2, p+6, p+8. Ich suma to 4(p+4), ale p+4 jest podzielne przez 3 i 5, wobec tego suma czterech kolejnych liczb pierwszych (o ile różnią się o mniej niż 10) jest podzielna przez 60 dokładnie wtedy, kiedy najmniejsza z nich jest większa od 5.
Zad. 3. Przekształcamy równoważnie zadaną równość do postaci (x–5)2+(y–5)2 = 50. Widzimy, że wartości bezwzględne z x–5 i y–5 nie mogą przekroczyć siedmiu. Równanie jest symetryczne, więc bez straty ogólności możemy założyć, że x≤y. Analizując przypadki, otrzymujemy jako pary liczb stanowiące rozwiązanie zadania: (-2, 4), (-2, 6), (0, 10), (4, 12), (6, 12) oraz (10, 10).
