Zad. 1. Dwa koła zębate mają odpowiednio 12 i 13 zębów. Po ilu obrotach każdego z nich te same zęby się spotkają?
Zad. 2. Chorągiew husarii atakuje regiment piechoty z odległości 350 m. Przez pierwsze 50 m jadą stępem z prędkością 6 km/h, następne 150 m jadą kłusem z prędkością 12 km/h, potem przechodzą do galopu na odcinku 120 m, jadąc z prędkością 25 km/h, żeby ostatecznie na 30 m przed starciem przejść do cwału z prędkością 60 km/h. Atakowani muszkieterowie nie przesuwają się, mogą oddawać salwy co 20 s (aby mieć czas na przeładowanie broni). Zasięg ich muszkietów to 250 m, jednak strzelanie na odległość większą niż 100 m nie czyni husarii większej szkody, dlatego, aby nie tracić amunicji, muszkieterowie oddają pierwszą salwę dopiero wtedy, gdy atakujący zbliżą się do nich na odległość 100 m. Czy muszkieterowie zdążą oddać drugą salwę przed starciem?
Zad. 3. Przekątne równoległoboku o obwodzie 40 cm dzielą go na cztery trójkąty. Różnica obwodów dwóch z tych trójkątów wynosi 5 cm. Oblicz długości boków równoległoboku.
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- 3 pkt. - Konrad Andruchów SP 4 Bolesławiec, Mieszko Baszczak SP 301 Warszawa, Marcin Bielak SP 2 Grodzisk Mazowiecki, Małgorzata Bogdańska SP 6 Jelenia Góra, Antoni Bryszewski SP 15 Jelenia Góra, Lena Bukowska SP 1 Sobótka, Antoni Buraczewski SP 107 Wrocław, Gracjan Ciupa SP 72 Wrocław, Hubert Cymbalista SP 1 Sobótka, Michał Florczak SP 1 Głubczyce, Maja Frankowska SP 3 Lubin, Michał Gębarowski SP Polna, Malwina Górecka SP 11 Inowrocław, Joachim Górski SP Mszczonów, Szymon Grech NSP Koszarawa Bystra, Igor Hołowacz SP Bielany Wrocławskie, Paula Jońska SP 6 Jelenia Góra, Antoni Kołat SP 45 Wrocław, Marek Komorowski SP 5 Żory, Karol Kondaszewski SP 5 Ozorków, Mateusz Kotarba SP Świątniki Górne, Martyna Kubiak SP Skoki, Szymon Kubiak SP Skoki, Kacper Kuszaj SP 2 Jelcz-Laskowice, Antoni Marczuk SP 99 Wrocław, Weronika Mucha SP 5 Ozorków, Jessica Pawłowska SP Kuniów, Gabriela Poświata SP 35 Legionowo, Zuzanna Prasek SP Mieroszów, Natasza Ptak SP 118 Wrocław, Jakub Ptak SP 64 Wrocław, Łukasz Skarzyński SP Podgórze, Kaja Srokosz SP 52 Warszawa, Adam Stachelek SP 301 Warszawa, Bartłomiej Szczerba SP 35 Szczecin, Miłosz Tomecki SP 5 Żory, Kacper Tylek SP Świątniki Górne, Szymon Warmuła SP Kobierzyce, Jerzy Wąsiewicz SP Kostowiec, Aleksandra Zalewska SP 1 Sokółka i Antonina Żeberska SP Smolec;
- 2,5 pkt. - Łukasz Banaś SP 46 Wrocław, Mikołaj Bilski SP 6 Jelenia Góra, Hubert Cabaj SP Brzoza, Norbert Frydrysiak SP Mszczonów, Gabriela Kelner SP Mieroszów, Michalina Kulesza SP Brzoza, Łukasz Lipski SP 34 Wrocław, Kajetan Pacześniak SP 46 Wrocław, Jakub Pietrusza SP 31 Warszawa, Adam Piotrowski KSP Mława, Karol Raczkowski-Orleski SP 45 Wrocław, Mikołaj Roszczyk SP 7 Legionowo, Wiktor Szywała SP 1 Sobótka, Jakub Ulfig SP Święta Katarzyna i Michalina Więckowska SP 1 Konstancin Jeziorna.
- 2 pkt. - Kacper Bernaciak SP 30 Wrocław, Bartłomiej Bichta SP 5 Ozorków, Miłosz Cegiełka SP Kraszewice, Katarzyna Czarna SP 1 Brzeg, Mateusz Ćmoch SP 12 Otwock, Kinga Gajek SP 4 Sandomierz, Hubert Grześkowiak SP Mieroszów, Natasza Henko SP Mieroszów, Zuzanna Jóźków SP 1 Sobótka, Mateusz Krakowiak SP 74 Wrocław, Dawid Kramarczyk SP 1 Brzeg, Natalia Krystkiewicz KSP Mława, Wiktor Sarnowicz SP 46 Wrocław, Klaudia Sułkowska SP Mieroszów, Wojtek Szabała SP Smolec, Bruno Szczepanek SP Święta Katarzyna, Kacper Szewrański SP 91 Wrocław i Damian Woliński SP 91 Wrocław;
- 1,5 pkt. - Monika Bysiewicz SP 1 Strzyżów, Kinga Cieślak SP 1 Brzeg, Kacper Kobyłecki SP Bolesławiec, Jacek Kuziemski SP Łukowice Brzeskie i Paweł Langer SP 8 Skoczów;
- 1 pkt. - Ewa Kaluś SP 1 Radom i Marta Matejuk SP Psary;
- 0,5 pkt. - Mikołaj Cholewiński SSP 35 Legionowo.
Pozostali uczestnicy zdobyli poniżej 0,5 punktu.
Zad. 1. Mniejsze koło zębate musi wykonać 13 obrotów a większe 12 obrotów, żeby te same zęby kół znów się spotkały. Ponumerujmy kolejno zęby obu kół tak, żeby na początku ząb nr 1 mniejszego koła stykał się z zębem nr 1 większego koła. Po jednym obrocie mniejszego koła jego ząb nr 1 będzie stykał się z zębem nr 13 większego koła. Po drugim obrocie mniejszego koła jego ząb nr 1 będzie stykał się z zębem nr 12 większego koła. Widać stąd, że za każdym obrotem mniejszego koła jego ząb nr 1 przesuwa się o jeden na zębie większego koła. Zatem małe koło musi wykonać 13 obrotów, żeby zęby nr 1 znów się spotkały. Rozumując podobnie, duże koło wykonać musi tylko 12 obrotów.
Zad. 2. Muszkieterowie zdążą oddać tylko jedną salwę. W momencie oddania pierwszego strzału z odległości 100 m, husaria ma do pokonania 70 m galopem i 30 m cwałem. Przeliczmy prędkość husarii na inne jednostki: 25 km/h = 25·1000/3600 m/s = 6,9444... m/s, a 60 km/h = 60·1000/3600 m/s = 16,6666... m/s. Czas, jaki zajmie husarii przebycie 70 m galopem i 30 m cwałem to 70/6,9444... + 30/16,666... ≈ 10,08+1,8 = 11,88 s. W czasie 11,88 s muszkieterowie nie zdążą oddać drugiej salwy, na którą potrzebują 20 s.
Zad. 3. Długości boków równoległoboku to 7,5 cm i 12,5 cm. Jeśli obwody trójkątów wyznaczonych przez przekątne i boki równoległoboku różnią się o 5 cm, to znaczy, że długości boków równoległoboku różnią się o 5 cm. Dzieje się tak, ponieważ te trójkąty mają dwa boki, które są równe połowie długości przekątnych, a trzeci bok to raz krótszy, a raz dłuższy bok równoległoboku. Jeśli krótszy bok równoległoboku oznaczymy przez a, to dłuższy będzie równy a+5. Obwód równoległoboku wynosi wtedy 2·a+2·(a+5) = 40, czyli 4·a+10 = 40 i odejmując obustronnie 10, dostaniemy 4·a=30, czyli a=7,5 cm.
