Zad. 1. Uzasadnij, że w dowolnym pięciokącie wypukłym istnieją trzy przekątne, z których można zbudować trójkąt.
Zad. 2. Sześcian dzielimy na 6 przystających ostrosłupów o podstawach będących ścianami tego sześcianu i wspólnym wierzchołku w środku symetrii sześcianu. Następnie ostrosłupy te naklejamy podstawami na ściany sześcianu przystającego do wyjściowego. Ile ścian ma otrzymana bryła?
Zad. 3. Ile pierwiastków rzeczywistych ma równanie (√3–1)x = 2(√2+1)x+1? Uzasadnij odpowiedź.
W kwietniu punkty zdobyli:
• 3 pkt. – Joanna Lisiowska XXI LO Warszawa, Bartłomiej Zug LO Oleśno;
• 2 pkt. – Jakub Dobrzański LO I Lubin, Mikołaj Dyblik LO 7 Wrocław i Józef Sendor.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Wybierzmy najdłuższą z przekątnych i te dwie, które mają z nią wspólne końce. Da się z nich zbudować trójkąt, ponieważ dwie krótsze z tych przekątnych przecinają się, więc suma ich długości na pewno przekracza długość trzeciej (bo warunek trójkąta spełniają już ich części).
Zad. 2. W każdym ostrosłupie jego górny wierzchołek, środek podstawy i środek krawędzi podstawy są wierzchołkami trójkąta prostokątnego równoramiennego. Zatem odcinki łączące górne wierzchołki naklejanych ostrosłupów ze środkami krawędzi sześcianu tworzą z odpowiednimi ścianami sześcianu kąt 45o. Dwa takie odcinki poprowadzone do tej samej krawędzi leżą zatem na jednej prostej. Stąd wniosek, że każda krawędź sześcianu należy do jednej ściany otrzymanej bryły. Jest ich więc 12 (i są przystającymi rombami).
Zad. 3. Lewa strona jest funkcją malejącą (funkcja wykładnicza o podstawie z przedziału (0, 1)), a prawa rosnącą (funkcja wykładnicza o podstawie większej niż 1 pomnożona przez stałą i powiększona o stałą). Dla x = 0 wykres funkcji z lewej strony (malejącej) przecina oś y w punkcie 1, a asymptotą wykresu jest prosta y = 0. Natomiast wykres funkcji z prawej strony (rosnącej) przecina oś y w punkcie 3, a asymptotą wykresu jest prosta y = 1. Wykresy funkcji przetną się tylko raz w II ćwiartce, bo obie funkcje są różnowartościowe. Równanie posiada zatem jeden pierwiastek rzeczywisty.
