Od stycznia 2014 zadania Ligi Zadaniowej dla Szkół Podstawowych należy wysyłać na adres mejlowy kisowski@gazeta.pl. Adres pocztowy pozostaje bez zmian.
Zad. 1. Średni wiek uczniów pewnej klasy jest równy liczbie uczniów tej klasy. Gdy do sali weszła 31-letnia nauczycielka matematyki, okazało się, że nadal średni wiek osób znajdujących się w klasie był równy liczbie tych osób. Ilu uczniów jest w tej klasie?
Zad. 2. Wielokrotne mnożenie tej samej liczby przez siebie nazywamy potęgowaniem i zapisujemy w skrócie tak: a·a·a·a·a = a5 [czytaj: a do potęgi piątej]. Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n liczba (10n+8)·(1/3+1/6+1/9) jest całkowita.
Zad. 3. Przekątne rombu mają długości 10 cm i 12 cm. O ile centymetrów należy zmienić długość dłuższej przekątnej, jeśli krótszą zwiększono dwukrotnie, aby pole rombu zmalało trzykrotnie?
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- 3 pkt. - Zuzanna Banaś SP Bielany Wrocławskie, Mieszko Baszczak SP 301 Warszawa, Hubert Cymbalista SP 1 Sobótka, Jakub Dobrzański SP 3 Lubin, Marek Komorowski ZSP 5 Żory, Zofia Ogonek SP 52 Warszawa, Magdalena Owczarek SSP Legionowo, Iwo Pilecki-Silva SP 76
Wrocław, Gabriela Poświata SP 35 Legionowo, Jakub Ptak SP 64 Wrocław, Aniela Reus SP 23 Wrocław, Mikołaj Roszczyk SP 7 Legionowo, Kinga Skorska SP ?, Bartosz Szczerba SP 35 Szczecin, Adrianna Tomasik SP 2 Głuszyca i Anna Wyszowska SP 28 Wałbrzych, - 2,5 pkt. - Ewa Blecha SP 26 Warszawa, Mateusz Milewski SP 1 Bogatynia i Michał Tłuczek SP 10 Głogów,
- 2 pkt. - Gracjan Ciupa SSP 72 Wrocław, Dominik Gąsior SP 52 Warszawa, Natalia Hydzik SP 5
Słupsk, Mateusz Lipiński SP 28 Wałbrzych, Wiktor Szywała SP 1 Sobótka i Michalina Więckowska SP 1 Konstancin-Jeziorna, - 1,5 pkt. - Mikołaj Cholewiński SP 35 Legionowo i Wojciech Pawłowski SP 63 Wrocław,
- 1 pkt. - Piotr Lara SP Świątniki Górne, Michał Piórkowski SP 63 Wrocław i Marcin Siemieński SP 52 Warszawa,
- 0,5 pkt. - Zuzanna Jóźków SP 1 Sobótka i Amadeusz Trzaska SP Świdnica.
Pozostałym uczestnikom Ligi przyznano poniżej 0,5 punktu.
Po siedmiu miesiącach Ligi z wynikiem 20,5 pkt. (na 21 możliwych!) prowadzi Zuzanna Banaś z SP w Bielanach Wrocławskich. Gratulujemy!
Zad. 1. Oznaczmy przez n liczbę uczniów w klasie, a przez x sumę ich lat. Średni wiek uczniów to x/n i wiemy, że wynosi on n. Zatem x = n·n. Po wejściu nauczycielki do klasy średni wiek zmienił się następująco (x+31)/(n+1) = n+1, czyli x+31 = (n+1)·(n+1) = n·n+n+n+1. Podstawiając za x wyliczone wcześniej n·n, dostaniemy n·n+31 = n·n+2n+1, co po uproszczeniu daje 31 = 2n+1 i dalej 30=2n, czyli n=15. Zatem w klasie było 15 uczniów. Z równania x+31 = (n+1)·(n+1), czyli n·n+31 = (n+1)·(n+1) lub inaczej n2+31 = (n+1)2 widać, że w zadaniu chodzi o znalezienie liczby naturalnej, której kwadrat i kwadrat liczby następnej różnią się o 31.
Zad. 2. Suma ułamków w drugim nawiasie wynosi 11/18, zatem cała liczba będzie całkowita, jeśli pierwszy nawias będzie podzielny przez 18, a to oznacza, że musi być podzielna jednocześnie przez 2 i 9. (Są to liczby względnie pierwsze, zatem podzielność przez ich iloczyn jest równoważna jednoczesnej podzielności przez czynniki. Zauważmy, że w innych przypadkach tak nie jest np. podzielność przez 3 i 6 nie oznacza wcale podzielności przez 18). W liczbie (10n+8) cyfrą jedności jest 8 (dlaczego), więc jest to liczba parzysta. Jest ona postaci 1000...08 (zer jest n-1), zatem suma jest cyfr wynosi 9, co oznacza, że liczba dzieli się przez 9. A to właśnie należało pokazać, żeby udowodnić podzielność (10n+8) przez 18, a tym samym całkowitość liczby danej w zadaniu.
Zad. 3. Pole rombu to połowa iloczynu długości jego przekątnych, zatem wyjściowy romb ma pole 1/2(10·12) = 60 cm2. Po zmianie pole zmaleje trzykrotnie, więc wyniesie 20 cm2, a długość krótszej przekątnej zwiększy się dwukrotnie, czyli wyniesie 20 cm. Wtedy długość dłuższej przekątnej musi zostać zmniejszona o x cm, a wzór na pole nowego rombu przejmie postać 1/2·20·(12-x) = 20, czyli 10·(12-x) = 20, skąd 12-x = 2. Zatem x = 10, czyli dłuższą przekątną należy zmniejszyć o 10 cm.
Zadanie 3
Treść zadania 3 została uproszczona. Skonkretyzowano w treści, że chodzi odpowiednio o dłuższą i krótszą przekątną. Przy pierwotnej treści są dwa rozwiązania, przy obecnej jedno! Unikajmy takich sytuacji, aby konkurs był sprawiedliwie oceniany!
Treść zadania
W oryginalnej wersji przekątne były nazwane "pierwsza" i "druga", co wobec treści zadania było jednoznacze i zmiana nie wpłynęła na liczbę rozwiązań. Teraz treść jest bardziej elegancka, ale merytorycznie nic się nie zmieniło.