Zad. 1. Na przedłużeniu średnicy AB okręgu o środku C leży punkt S. Mając dane SA i SB, oblicz SD, gdzie D to taki punkt okręgu, że C jest jego rzutem prostokątnym na średnicę.
Zad. 2. Po zabawie andrzejkowej w gronie znajomych małżeństw wszyscy, rozstając się, żegnali się uściskiem dłoni. W sumie wymieniono 112 uścisków, po czym małżeństwa udały się do swoich domów. Ile par było na przyjęciu?
Zad. 3. Podaj wszystkie błędy w poniższym rozumowaniu.
1 zł = 100 gr, czyli
1 zł = 10 gr · 10 gr, czyli
1 zł = 0,1 zł · 0,1 zł, czyli
1 zł = 0,01 zł, czyli
1 zł = 1 gr!
Komplet punktów za rozwiązania zadań grudniowych otrzymali: Krzysztof Bednarek, Antonina Biela, Szymon Budzyński, Liwia Ćwiek, Adam Krasuski, Karolina Krzykawiak, Agata Kuć, Zuzanna Kumko, Antoni Machowski, Natalia Marcinkiewicz, Bartłomiej Polcyn, Marcin Sidorowicz, Adrian Słodziński, Michał Turniak, Michał Żłobicki oraz zespół Ewa Bielak i Aleksandra Daniel.
Na czele rankingu ligi gimnazjalnej są aktualnie:
-
z 9 pkt (na 9 możliwych): Szymon Budzyński z G 3 we Wrocławiu, Agata Kuć z G 6 w Płocku, Antoni Machowski z G 52 w Krakowie, Marcin Sidorowicz z G 49 we Wrocławiu, Adrian Słodziński z G w Miliczu oraz zespół Ewa Bielak i Aleksandra Daniel z G w Ustroniu Morskim,
-
z 8,5 pkt: Antonina Biela z G w Strzelcach Opolskich,
-
z 8 pkt: Krzysztof Bednarek z G 13 we Wrocławiu, Liwia Ćwiek z G 2 w Złotoryi, Karol Kaszuba z G 42 w Warszawie, Adam Krasuski z G 1 w Mosinie i Bartłomiej Polcyn z G w Mogilnie.
Gratulujemy!
Zad. 1. CD to promień tego okręgu, czyli |SA-SB|/2 (wartość bezwzględna, ponieważ z danych zadania nie wynika, w którą stronę od odcinka AB leży S). Z kolei SC=(SA+SB)/2, więc z tw. Pitagorasa otrzymamy SD2 = SC2+CD2 = (SA2+2·SA·SB+SB2+SA2-2SA·SB+SB2)/4, czyli SD = √((SA2+SB2)/2). Jest to tzw. średnia kwadratowa długości SA i SB.
Zad. 2. Każde dwie żegnające się pary wymieniały cztery uściski dłoni, zatem pożegnań par było 28. Z drugiej strony, jeśli par było x, to liczba pożegnań musiała wynosić x(x-1)/2 (dlaczego?), więc x(x-1)=56, skąd (ponieważ x jest naturalne) jako odpowiedź uzyskujemy 8.
Zad. 3. Nieprawdziwe są wszystkie równości poza pierwszą, a w rozumowaniu popełniono dwa błędy:
- 10 gr · 10 gr to nie 100 gr, tylko 100 gr2 (taka jednostka jest oczywiście nieużywana, ponieważ nie mnoży się cen przez ceny),
- analogicznie 0,1 zł · 0,1 zł to nie 0,01 zł, lecz 0,01 zł2.
Jak słusznie zauważyli niektórzy Ligowicze, nie jest również wskazane używanie w zapisie matematycznym znaku "!", który może oznaczać silnię, ale trudno nazwać to błędem, zwłaszcza że "!" ma sens tylko w zastosowaniu do liczb (i zmiennych o wartościach liczbowych) - nie ma pojęć "metr silnia" czy "grosz silnia".
