Zad. 1. 100 losowo wybranych punktów pionowej prostej oznaczono liczbami 1, 2, ..., 100, przy czym dla każdego i z {1, 2, ..., 100} tym samym numerem oznaczono również wszystkie punkty tej prostej, których odległość od pierwszego zaznaczonego punktu nr i wyraża się liczbą całkowitą. Następnie wykonano następujący algorytm:
- do zmiennej s wpisz 0;
dla każdego i z {1, 2, ..., 100} wykonaj:
(- losowo wybierz dowolny punkt nr i;
- dla każdego j z {1, 2, ..., 100}\{i} powiększ wartość s o odległość wybranego punktu od najbliższego punktu nr j leżącego powyżej).
Ile wyniesie wartość s?
Zad. 2. W zależności od b wyznacz takie a i c, żeby rozwiązaniem nierówności a|x+b|+c > x2 był przedział (2, 5).
Zad. 3. Udowodnij, że obrazem sześcianu w izometrii jest sześcian.
W czerwcu nikt nie nadesłał pełnych poprawnych rozwiązań, chociaż każde zadanie zostało przez kogoś rozwiązane. Po 2,5 pkt zdobyli: Maciej Cebula, Robert Czwartosz, Paweł Kotyś oraz Arkadiusz Wróbel.
Laureatami tegorocznej Ligi Szkół Ponadgimnazjalnych niniejszym zostają:
- z 22,5 pkt (na 27 możliwych) - Arkadiusz Wróbel z XIV LO w Warszawie,
- z 21,5 pkt - Paweł Kotyś z I LO w Oleśnie,
- z 21 pkt - Maciej Cebula z I LO w Oleśnie,
- z 20 pkt - Robert Czwartosz z LO w Trzebnicy,
- z 16 pkt - Bartosz Pawliczak z LO w Górze.
Gratulujemy serdecznie!
Zad. 1. Jeśli żaden punkt na prostej nie otrzymał więcej niż jednego numeru, sumowane długości odcinków mn i nm dają razem 1, a ponieważ par takich jest 100·99/2 = 4950, tyle wyniesie wówczas s. Jeśli natomiast niektóre numery się "skleiły", s jest większe od 4950 o tyle, ile jest takich "sklejonych par" (bo mm i mm dają w sumie 2). Ich liczba może wynosić od 0 do 4950, lecz ustalenie, które wartości mogą być przyjmowane, nie jest proste!...
Zad. 2. Wykres lewej strony nierówności musi przechodzić przez punkty (2, 4) i (5, 25), czyli spełnione muszą być równania: a|b+2|+c=4 i a|b+5|+c=25, skąd po odjęciu stronami otrzymamy warunek a(|b+5|-|b+2|)=21, w którym widać trzy przypadki wynikające także z geometrii zagadnienia:
1) b≤-5 - wówczas a=-7 i c=-7b-10, co jest już rozwiązaniem w tym przypadku, ponieważ nie ma więcej ograniczeń na a, b i c (co widać łatwo z analizy wykresu funkcji y=-7|x+b|+c,
2) b≥-2 - wtedy a=7 i c=-7b-10, ale lewa część wykresu y=7|x+b|+c musi ponadto mieć najwyżej jeden punkt wspólny z parabolą, czyli równanie x2+7x+14b+10=0 powinno mieć niedodatni wyróżnik, co oznacza dodatkowy warunek b≥9/56,
3) b pomiędzy -5 i -2 - wtenczas a=21/(|b+5|-|b+2|), przy czym tym razem dodatkowym warunkiem jest ujemność a, co jest równoważne warunkowi b<-3,5, i ostatecznie mamy: a=21/(2b+7) i c=(29b+70)/(2b+7).
Pełna odpowiedź to zatem: a=-7 i c=-7b-10 dla b≤-5, a=7 i c=-7b-10 dla b≥9/56 oraz a=21/(2b+7) i c=(29b+70)/(2b+7) dla b pomiędzy -5 a -3,5 (dla pozostałych wartości b sytuacja opisana w zadaniu jest niemożliwa).
Zad. 3. Jako że z definicji izometrii P'A'=PA i P'B'=PB, dowolny odcinek AB musi zostać przekształcony na odcinek przystający. Ponieważ A'B'=AB, B'C'=BC i A'C'=AC, każdy trójkąt przechodzi na trójkąt przystający (co możemy uzasadnić najpierw dla jego brzegu, a potem bazując na jedyności punktu o danych odległościach od trzech wierzchołków). Izometria zachowuje więc kąty, co prowadzi dalej do wniosku, że obrazem kwadratu jest kwadrat (np. przez rozłożenie go na dwa trójkąty i uwzględnienie odległości ich wierzchołków). Prostopadłość kwadratowych ścian można sprowadzić do prostopadłości odpowiednich odcinków w nich zawartych i ostatecznie, patrząc dodatkowo na odległości krawędzi, dojdziemy tak do tezy zadania.
Zad. 1.
W zadaniu 1 losowo wybrane punkty są różne?
Punkty
Punktów jest 100.
Po fakcie
Wiem, że jest już po fakcie, ale czegoś tu nie rozumiem. W rozwiązaniu napisano: Ich liczba może wynosić od 0 do 4950, lecz ustalenie, które wartości mogą być przyjmowane, nie jest proste!. Jeśli nie potraficie znaleźć rozwiązania, ani nie potraficie nawet uzasadnić, czy opisana sytuacja wyznaczona jest jednoznacznie, to czemu je udostępniacie innym? Widząc zadanie, zakładamy, że jest to, co podano w treści, jest możliwe. Widzę kolejne zadanie bez możliwości rozwiązania i czytam, że zadanie okazało się zbyt trudne dla uczestników. Według mnie jest to niesprawiedliwe. Dokładnie jak w styczniu
Przeczytaj treść
A wystarczyło przeczytać treść zadania ze zrozumieniem i oddzielić rozwiązanie od towarzyszącego mu komentarza.