Zad. 1. Prostą równoległą do jednej pary boków prostokąta a×b (a>b) rozcięto go na dwa prostokąty, tak że ich przekątne są prostopadłe. (Są to tzw. prostokąty odwrotne). Ile wynosi a/b, jeśli stosunek pól tych prostokątów to q?
Zad. 2. Czy dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n zbiór {1, 3, 5, ..., 4n-1} da się podzielić na dwa takie, że suma elementów jednego jest trzykrotnie większa od sumy elementów drugiego? Uzasadnij!
Zad. 3. Udowodnij, że liczba o zapisie dziesiętnym a1a2a3...a99 dzieli się przez 37 wtedy i tylko wtedy, gdy 37 dzieli sumę jej trzycyfrowych odcinków (tzn. liczb a1a2a3, a4a5a6, ..., a97a98a99).
Za rozwiązania zadań czerwcowych po 3 pkt przyznaliśmy Igorowi Chełstowskiemu, Bartoszowi Czyżewskiemu i Michałowi Turniakowi, a 2,5 pkt uzyskał Tomasz Stempniak.
W Lidze Gimnazjów 2012/13 najlepsze wyniki osiągnęli zatem:
- 25,5 pkt (na 27 możliwych) - Bartosz Czyżewski z Gim. w ZSO nr 1 w Jeleniej Górze i Michał Turniak z Gim. 49 we Wrocławiu,
- 23 pkt - Igor Chełstowski z Gim. Dwujęzycznego przy I LO w Inowrocławiu,
- 22 pkt - Tomasz Stempniak z Zespołu Szkół s. Salezjanek w Ostrowie Wlkp.,
- 20 pkt - Daria Bumażnik z Gim. 1 w Jeleniej Górze,
- 17,5 pkt - Klaudia Marcinkiewicz z Gim. 24 w Katowicach oraz Krzysztof Bednarek z Gim. 13 we Wrocławiu,
- 16,5 pkt - Wojciech Wiśniewski z Gim. 3 w Giżycku,
- 14 pkt - Mateusz Rzepecki z Gim. 14 we Wrocławiu.
Serdecznie gratulujemy!
Zad. 1. Jeśli odcinek, który prowadzona prosta odcina z boku a oznaczyć przez x, to warunek stosunku pól oznacza, że (a-x)/x = q (lub odwrotnie, w zależności od tego, którą z dwóch części a nazwać x, ale wynik wyjdzie taki sam), skąd x = a/(q+1). Analizując kąty przy przekątnych tych prostokątów, dojdziemy do wniosku, że są one podobne i (a-x)/b = b/x, co daje a/b = (q+1)/√q.
Zad. 2. Tak, zasadę takiego podziału może wyjaśnić rysunek: 
-wielokąty (tzw. gnomony) o polach 1, 3 i 5 składają się na kwadrat będący ćwiartką dużego, a pozostałe 3/4 dają gnomony o polach 5, 7 i 9. To rozumowanie jest poprawne dla każdego n.
Zad. 3. (Podkreślony zapis rozumiemy tu jako liczbę złożoną z danych cyfr). a1a2a3...a99 = a1a2a3·1096 + a4a5a6·1093 + ... + a97a98a99 = (a1a2a3 + a4a5a6 + ... + a97a98a99) + (a1a2a3·(1096-1) + a4a5a6·(1093-1) + ... + a94a96a96·(103-1)), a ponieważ liczby postaci 103n-1 to w zapisie dziesiętnym 3n dziewiątek, dzielą się przez 999, a zatem i przez 37. Każdy składnik sumy w drugim nawiasie jest więc podzielny przez 37, a stąd wynika opisana w zadaniu cecha podzielności.
