Zad. 1. a1=73, a2=773, a3=7773, a4=77773, ... Ile wynosi reszta z dzielenia przez 1024 liczby a1000+a1001+a1002+...+a2012?
Zad. 2. Ile jest 13-elementowych zbiorów liczb całkowitych dodatnich o sumie 100?
Zad. 3. Niech ABC będzie trójkątem ostrokątnym, H - jego ortocentrum, HC - punktem symetrycznym do H względem AB, HB - punktem symetrycznym do H względem AC, a HA - punktem symetrycznym do H względem BC. Udowodnij, że HA, HB i HC leżą na okręgu przechodzącym przez A, B i C.
Zadania z ostatniego miesiąca były nadzwyczaj trudne - 3 pkt przyznaliśmy tylko Bartoszowi Czyżewskiemu i Piotrowi Dzierzy.
Zawodnicy z najwyższymi wynikami w tegorocznej Lidze to:
- I m. (26 pkt. na 27 możliwych) - Adrian Słodziński z Gim. w Miliczu,
- II m. (25 pkt) - ex aequo: Bartosz Czyżewski (Gim. w ZSO nr 1 w Jeleniej Górze), Piotr Dzierza (Gim. w Miękini) i Magdalena Nowak (Gim. 33 w Krakowie),
- III m. (24 pkt) - Michał Turniak (Gim. 49 we Wrocławiu),
- IV m. (23,5 pkt) - Wojciech Górski (Gim. 2 w Oleśnie),
- V m. (22,5 pkt) - ex aequo: Krzysztof Bednarek (Gim. 13 we Wrocławiu) i Natalia Marcinkiewicz (Gim. "Omega" w Katowicach),
- VI m. (22 pkt) - ex aequo: Szymon Budzyński (Gim. 3 we Wrocławiu) i Karolina Krzykawiak (Gim. 19 we Wrocławiu),
- VII m. (21 pkt) - ex aequo: Agata Kuć (Gim. 6 w Płocku) i Aleksandra Polcyn (Gim. Akademickie w Toriuniu),
- VIII m. (20,5 pkt) - Mieszko Gałat (Gim. 50 w Bydgoszczy),
- IX m. (19 pkt) - Antonina Biela (Gim. w Strzelcach Opolskich),
- X m. (18 pkt) - ex aequo: Aleksandra Banach (Gim w Grodzisku Wielkopolskim) i Bartosz Sójka (Gim. w ZSO nr 1 w Jeleniej Górze).
Wszystkim serdecznie gratulujemy!
Zad. 1. Zauważmy, że dla n≥10 an=77...7·1010+7777777773, gdzie siódemek w liczbie mnożonej przez 1010 jest n-9. Ponieważ 1010=210·510=1024·510, wszystkie an dla n≥10 dają przy dzieleniu przez 1024 taką resztę jak 7777777773, czyli 109, zatem odpowiedź to 109·1013 mod 1024 = 849.
Zad. 2. 1+2+...+11=66, więc kolejnymi składnikami mogą być 12 i 22, 13 i 21 itd. do 16 i 18. Daje to pięć możliwości. Gdyby składnikami były w kolejności rosnącej liczby 1, 2, ..., 9, 10, 12, dalszymi mogłyby być 13 i 20, 14 i 19, 15 i 18 oraz 16 i 17 (cztery kolejne sumy). Z kolei do zbioru {1, 2, 3, ..., 9, 10, 13} można dodać tylko 14 i 18 albo 15 i 17 (dwie kolejne możliwości), do {1, 2, 3, ..., 9, 10, 14} - tylko 15 i 16 i do {1, 2, 3, ..., 9, 10, 15} już nic (większego). Jeśli 10 najmniejszymi składnikami byłyby 1, 2, 3, ..., 9, 11, kolejnymi trzema mogłyby być: {12, 13, 19}, {12, 14, 18}, {12, 15, 17}, {13, 14, 17} i {13, 15, 16}, do zbioru {1, 2, 3, ..., 9, 12} można dołączyć tylko 13, 14 i 16, a do {1, 2, 3, ..., 9, 12} - nic. Dalej analogicznie znajdziemy sumy 1+2+3+...+8+10+a+b+c+d, gdzie a, b, c, d tworzą zbiór {11, 12, 13, 18}, {11, 12, 14, 17}, {11, 12, 15, 16}, {11, 13, 14, 16} albo {11, 14, 15, 16} i w końcu 1+2+3+4+5+6+7+9+10+11+12+13+17, 1+2+3+4+5+6+7+9+10+11+12+14+16, 1+2+3+4+5+6+7+9+10+11+13+14+15, 1+2+3+4+5+6+8+9+10+11+12+13+16, 1+2+3+4+5+6+8+9+10+11+12+14+15, 1+2+3+4+5+7+8+9+10+11+12+13+15 oraz 1+2+3+4+6+7+8+9+10+11+12+13+14. Odpowiedzią jest więc 30.
Zad. 3. Miary kątów BCH i HAHC sumują się do 90°. Ponieważ z kolei AHHC i HAHC to kąty wierzchołkowe, miara AHHA to 90°- |<BCH|. Podobnie |<BHHC| = 90°- |<ACH|, co po zsumowaniu daje |<AHB|=180°-|<ACB|. Ponieważ HC jest obrazem H w symetrii względem AB, mamy również |<AHCB|=180°-|<ACB|, co oznacza, że czworokąt ACBHC jest wpisany w okrąg, czyli że HC leży na okręgu opisanym na trójkącie ABC. Tak samo z pozostałymi obrazami ortocentrum.
Zadanie 2
W treści zadania nie napisano, że zbiory mają mieć różne elementy. Uważam, że rozwiązaniem może być
{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 88}, {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 87},
{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 86} itd. Więc zbiorów jest dużo więcej.
Zgadzam się
Ja również przyjęłam, że elementy mogą się powtarzać, ponieważ nie było wspomniane, że miałyby być różne.
Co to jest "zbiór"?!
Nie ma zbioru, w skład którego wchodziłyby np. trzy liczby 1. Liczba 1 jest tylko jedna i albo jest ona elementem zbioru, albo nie. Tak właśnie rozumie się pojęcie "zbiór" w matematyce.
Kombinacje
A czym są kombinacje z powtórzeniami?
Kombinacje z powtórzeniami
Kombinacje z powtórzeniami to tzw. multizbiory, czyli struktura, która od zbioru różni się właśnie tym, że każdy element może w niej występować kilkakrotnie.