Zad. 1. Wewnątrz n-kąta foremnego A1A2...An wybrano punkt O, taki że A1A2O jest równoboczny. Jaką miarę ma kąt A3OAn?
Zad. 2. Na okręgu rozmieszczono w równych odstępach kolejno punkty P1, P2, P3, ..., P100. Opisz kształt figury, jaka powstanie, gdy poprowadzimy łamaną zamkniętą łączącą co dwunasty z nich (tj. P1P13P25P37...P97P9P21P33...P93P5P17...P1)?
Zad. 3. Podaj wszystkie liczby naturalne x o tej własności, że pewna wielokrotność x powstaje przez dopisanie do zapisu dziesiętnego liczby x kolejno cyfr 2, 0, 1, 1. (Tzn. z liczby 123 powstałaby 1232011).
Za rozwiązania zadań czerwcowych komplet 3 pkt otrzymali: Szymon Budzyński, Daria Bumażnik, Adam Krasuski, Agata Kuć, Antoni Machowski oraz zespół w składzie Ewa Bielak i Aleksandra Daniel.
W bieżącym roku szkolnym w Lidze Gimnazjalnej wzięło 105 uczniów. W czołówce rankingu znaleźli się (w nawiasie podajemy liczby punktów na 27 możliwych):
I m. - Antoni Machowski z Gim. 52 w Krakowie (26,5 pkt),
II m. - Szymon Budzyński z Gim. 3 we Wrocławiu (26 pkt),
III m. ex aequo - Agata Kuć z Gim. 6 w Płocku i Adrian Słodziński z Gim. w Miliczu (25 pkt),
IV m. - zespół Ewa Bielak i Aleksandra Daniel z Gim. w Ustroniu Morskim (23,5 pkt),
V m. - Adam Krasuski z Gim. 1 w Mosinie (22 pkt),
VI m. - Bartłomiej Polcyn z Gim. w Mogilnie (21 pkt),
VII m. - Antonina Biela z Gim. w Strzelcach Opolskich (20 pkt),
VIII m. - Marcin Sidorowicz z Gim. 49 we Wrocławiu (19,5 pkt),
IX m. - Natalia Marcinkiewicz z Gim. Omega w Katowicach (19 pkt),
X m. ex aequo - Daria Bumażnik z Gim. 1 w Jeleniej Górze i Liwia Ćwiek z Gim. 2 w Złotoryi
Serdecznie gratulujemy!
Zad. 1. Kąt A1A2A3 ma miarę (180–360/n)°, zatem OA2A3 – miarę (120–360/n)°. Jego dopełnienie do 180° to podwojony kąt OA2A3, zatem szukany kąt ma miarę (60+360/n+60)° = (120+360/n)°, jeśli mamy na myśli kąt zawierający punkty A1 i A2.
Zad. 2. Łamana zamknie się po "odwiedzeniu" 25 wierzchołków - przechodzi ona tylko przez wierzchołki o numerach postaci 4n+1 i odwiedzi je wszystkie, bo dopiero 25. wielokrotność liczby 12 dzieli się przez 100 (i jest to trzecia wielokrotność setki - łamana mija P1 (i każdy inny wierzchołek) dwa razy, zanim do niego wróci). Powstaje zatem 25-ramienna foremna gwiazda.
Zad. 3. Treść zadania mówi, że szukamy takich x, dla których liczba 10000x+2011 dzieli się przez x. Jest to równoważne warunkowi podzielności przez x liczby 2011, a to - ponieważ 2011 jest liczbą pierwszą - daje odpowiedź: x to 1 lub 2011.
