czerwiec 2010

Data ostatniej modyfikacji:
2018-09-17

Zad. 1. Specjalnie dla kibiców MŚwPN 2010: ile przekątnych ma "piłka nożna", czyli dwudziestościan ścięty, którego model przedstawiamy na zdjęciu obok? (Kliknij na zdjęcie, aby je powiększyć).

Zad. 2. Czy istnieją różne liczby naturalne x1, x2, ..., x100, takie że NWD ich wszystkich wynosi 1, ale NWD żadnych dwóch z nich nie jest jedynką? Udowodnij!

Zad. 3. W trapezie o podstawach a i b poprowadzono przez punkt przecięcia przekątnych odcinek równoległy do podstaw i łączący ramiona. Oblicz jego długość.

 

Wyniki: 

Za zadania czerwcowe maksymalną liczbę 3 pkt uzyskali: Daniel Danielski, Antoni Machowski, Karol Sala i Adrian Słodziński.

W Lidze Gimnazjalnej 2009/2010 po zaciętej walce najlepiej wypadli (w nawiasie podajemy liczby punktów na 27 możliwych):

  • I m. ex aequo - Daniel Danielski Gim 1 Zgorzelec i Antoni Machowski z Gim 52 Kraków (26,5 pkt),
  • II m. - Karol Sala ZS Piotrowice (26 pkt),
  • III m. -  Arkadiusz Wróbel Gim 2 Brwinów (25,5 pkt),
  • IV m. - Adrian Słodziński Gim Milicz (25 pkt).

Gratulujemy! Nagrody wysyłamy pocztą.

 

Odpowiedzi: 

Zad. 1. Dwudziestościan foremny ma 20·3/5 = 12 wierzchołków, z których każdy należy do pięciu trójkątnych ścian, a po ich przycięciu te oryginalne ściany stają się sześciokątami, a w miejscu każdego wierzchołka powstaje nowa ściana pięciokątna. "Piłka nożna" ma więc 20 ścian sześcio- i 12 pięciokątnych i (20·6+12·5)/3 = 60 wierzchołków oraz (20·6+12·5)/2 = 90 krawędzi. Wszystkich odcinków łączących dwa wierzchołki jest 60·59/2. Spośród nich przekątnymi tego wielościanu nie są krawędzie ani przekątne ścian. Odpowiedź to zatem 60·59/2–(90+20·9+12·5) = 30·(59–(3+6+2)) = 30·48 = 1440.

Zad. 2. Istnieją i takich setek liczb jest nieskończenie wiele - można je utworzyć np. ze 100 liczb pierwszych p1, p2, ..., p100 w następujący sposób: jeśli przez P oznaczyć p1p2...p100, to niech x1 = P/p1, x2 = P/p2, ..., x100 = P/p100. Wówczas NWD(x1, x2, ..., x100) = 1, ale dla i≠j NWD(xi, xj) = P/(pipj).

Zad. 3. Oznaczmy wierzchołki trapezu przez A, B, C, D, tak żeby AD=a, BC=b, punkt przecięcia przekątnych przez P, a końce odcinka, o którym mowa w zadaniu, przez K - na AB - i L - na CD. Szukaną długość nazwijmy x. Z podobieństwa odpowiednich trójkątów mamy: KP/a = BP/BD LP/a = CP/AC, co po dodaniu stronami daje: x/a = BP/BD + CP/AC i po odwróceniu a/x = (BP+DP)/BP + (AP+CP)/CP = 2 + DP/BP + AP/CP, co z dalszych podobieństw daje 2+2a/b, więc ostatecznie 1/x = 2(1/a+1/b), czyli x=1/((1/a+1/b)/2)=2ab/(a+b). Jest to tzw. średnia harmoniczna liczb a i b.

 

Kiedy nagrody?

Kiedy będą nagrody?

Wysył nagród

Wszystkie nagrody będą rozesłane do końca lipca.

Po co adresy szkół?

A do czego były Państwu potrzebne adresy szkół?

Odpowiedź

Adresy szkół potrzebne są do weryfikacji, czy dana osoba jest rzeczywiście uczniem szkoły na danym poziomie.

Powrót na górę strony