Połowiące trójkąta w zadaniach

W trójkącie można poprowadzić odcinek, który podzieli ten trójkąt na dwie figury o równym polu. Powiemy wtedy, że taka linia połowi pole lub że jest połowiącą pole.

W trójkącie można poprowadzić odcinek, który podzieli obwód tego trójkąta na dwie łamane o równej długości. Powiemy wtedy, że taka linia połowi obwód lub że jest połowiącą obwód.

Uruchamiając makra (ikona ), możesz dorysować nowe połowiące.
 

Proponujemy do rozwiązania kilkanaście zadań (łatwych i trudniejszych). 

Zadanie A.1. 
W trójkącie równobocznym ABC, o boku a = 4, niech PP' || AB będzie połowiącą pole. Oblicz długość PP'. W jakim stosunku odcinek PP' dzieli środkową (wysokość) CD tego trójkąta?
 

Zadanie A.2. 
W trójkącie równobocznym ABC, o boku a = 4, niech QQ' || AB będzie połowiącą obwód. Oblicz długość QQ'. W jakim stosunku odcinek QQ' dzieli środkową (wysokość) CD tego trójkąta?
 

Zadanie A.3. 
W trójkącie prostokątnym ABC, o przyprostokątnych AC = BC = 4, niech PP' || AB będzie połowiącą pole. Oblicz długość PP'. W jakim stosunku odcinek PP' dzieli środkową (wysokość) CD tego trójkąta?
 

Zadanie A.4. 
W trójkącie prostokątnym ABC, o przyprostokątnych AC = BC = 4, niech QQ' || AB będzie połowiącą obwód. Oblicz długość QQ'. W jakim stosunku odcinek QQ' dzieli środkową (wysokość) CD tego trójkąta?
 

Zadanie A.5. 
W trójkącie ABC niech PP' || AB będzie połowiącą pole. W jakim stosunku odcinek PP' dzieli środkową CD tego trójkąta?
 

Zadanie A.6a. 
W trójkącie równoramiennym ABC, AC = BC = 2, AB = 0,004, niech QQ' || AB będzie połowiącą obwód. W jakim stosunku odcinek QQ' dzieli środkową (wysokość) CD tego trójkąta?

Zadanie A.6b. 
W trójkącie równoramiennym ABC, AC = BC = 2, AB =3,996, niech QQ' || AB będzie połowiącą obwód. W jakim stosunku odcinek QQ' dzieli środkową(wysokość) CD tego trójkąta?

Zadanie A.6c. 
Czy jest taki trójkąt ABC, w którym połowiąca obwód QQ' || AB dzieli środkową CD na pół?
 

Zadanie A.7a. * 
W trójkącie równoramiennym ABC, AC = BC, PP' = 4 jest połowiąca pole, równoległą do AB i QQ' = 3 jest połowiąca obwód, równoległą do AB.
a)  Czy można obliczyć pole ABC ? Jeśli tak, oblicz je.
b)  Czy można obliczyć obwód ABC ? Jeśli tak, oblicz go.
c)  Czy można obliczyć długości boków ABC ? Jeśli tak, oblicz je.
 

Zadanie A.7b. * 
W trójkącie ABC, PP' = 4 jest połowiąca pole, równoległą do AB i QQ' = 3 jest połowiąca obwód, równoległą do AB.
a)  Czy można obliczyć pole ABC ? Jeśli tak, oblicz je.
b)  Czy można obliczyć obwód ABC ? Jeśli tak, oblicz go.
c)  Czy można obliczyć długości boków ABC ? Jeśli tak, to oblicz je.
 

Zadanie B.1. 
W ABC, AB = 10, BC = 8 i AC = 6 niech AA' oznacza połowiącą pole i niech AA'' oznacza połowiącą obwód.
a)  Oblicz CA' : A'B .
b)  Oblicz CA'' : A''B .
c)  Oblicz długość AA' oraz AA'' .
 

Zadanie B.2. 
W ABC, AB = 10, BC = 8 i AC = 6 niech CC' oznacza połowiącą pole i niech CC'' oznacza połowiącą obwód.
a)  Oblicz AC' : C'B .
b)  Oblicz AC'' : C''B .
c)  Oblicz długość CC' oraz CC'' .
 

Zadanie B.3. 
W trójkącie ostrokątnym ABC, niech CD oznacza wysokość. Uzasadnij, że jeśli połowiąca pole CC' pokrywa się z CD, to AC = BC.
 

Zadanie B.4. 
W trójkącie ostrokątnym ABC, niech CD oznacza wysokość. Uzasadnij, że jeśli połowiąca obwód CC'' pokrywa się z CD, to AC = BC.
 

Zadanie B.5. 
W trójkącie ostrokątnym ABC, niech CE oznacza odcinek dwusiecznej zawarty w trójkącie. Uzasadnij, że jeśli połowiąca pole CC' pokrywa się z CE, to AC = BC.
 

Zadanie B.6. 
W trójkącie ostrokątnym ABC, niech CE oznacza odcinek dwusiecznej zawarty w trójkącie. Uzasadnij, że jeśli połowiąca obwód CC'' pokrywa się z CE, to AC = BC.
 

Zadanie B.7. 
W trójkącie ABC niech CC' oznacza połowiącą pole i niech CC'' oznacza połowiącą obwód. Uzasadnij, że jeśli C' = C'', to AC = BC.
 

Zadanie B.8. * 
W trójkącie ABC, niech: CD oznacza wysokość, CE oznacza odcinek dwusiecznej zawarty w trójkącie, CC' oznacza połowiącą pole, CC'' oznacza połowiącą obwód.
Na rysunku pokazano tylko bok AB.
Zaznacz punkty E, C', C''.
 

Uwaga.  W rozwiązaniu niektórych z powyższych zadań przydatne może być twierdzenie o dwusiecznej:
 
Niech w trójkącie ABC punkt P leży na boku AB. Wtedy:

Zadanie C.1. * 
W ABC niech AA', BB', CC' oznaczają połowiące pole. Uzasadnij, że odcinki AA', BB', CC' przecinają się w jednym punkcie.
 

Zadanie C.2. * 
W ABC niech AA'', BB'', CC'' oznaczają połowiące obwód. Uzasadnij, że odcinki AA'', BB'', CC'' przecinają się w jednym punkcie.
 

Zadanie C.3. * 
W ABC niech AA', BB', CC' oznaczają połowiące pole i niech S oznacza punkt wspólny tych trzech odcinków. Uzasadnij, że nie istnieje czwarta połowiąca pole przechodząca przez S.
 

Zadanie C.4. * 
W ABC niech AA'', BB'', CC'' oznaczają połowiące obwód i niech T oznacza punkt wspólny tych trzech odcinków.
Uzasadnij, że nie istnieje czwarta połowiąca obwód przechodząca przez T.
 

Zadanie C.5. * 
Czy punkt wewnętrzny trójkąta może być punktem wspólnym czterech połowiących pole?
 

Zadanie C.6. * 
Czy punkt wewnętrzny trójkąta może być punktem wspólnym czterech połowiących obwód?
 

Uwaga.  W rozwiązaniu niektórych z powyższych zadań przydatne może być twierdzenie Cevy:
 
Niech w trójkącie ABC punkt C_o leży na boku AB, A_o leży na boku BC i B_o leży na boku AC. Wtedy:

Zadanie D.1. 
Czy każde dwie połowiące pole trójkąta ABC muszą się przecinać?
 

Zadanie D.2. 
Czy każde dwie połowiące obwód trójkąta ABC muszą się przecinać?
 

Zadanie D.3. 
Uzasadnij, że w trójkącie ABC odcinek QQ' połowi obwód wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty o równych obwodach.
 

Zadanie D.4. 
Czy połowiąca obwód może nie przecinać pewnej połowiącej pole?
 

Zadanie D.5. 
W ABC niech AA', BB', CC' oznaczają połowiące pole.
Czy A'B'C' jest podobny do ABC ?
 

Zadanie D.6. 
W ABC niech AA'', BB'', CC'' oznaczają połowiące obwód.
Czy A''B''C'' jest podobny do ABC ?