Autor:
Krzysztof Omiljanowskipracownik IM UWr
Dział matematyki:
arytmetyka
2007/2008 = 0,99950199203187250996015936254980079681274900398406374???...
2007/2008 = 0,99950199203187250996015936254980079681274900398406374501992031872509960159362549800796812749003984063745019920318725099601593625498007968127490039840637450199203187250996015936254980079681274900398406374501992031872509960159362549800796812749003984063745019920318725099601593625498007968127490039840637450199203187250996015936254980079681274900398406374501992031872509960159362549800796812749003984063745019920318725099601593625498007968127490039840637450199203187250996015936254980079681274900398406374501992031872509960159362549800796812749003984063745019920318725099601593625498007968127490039840637450199203187250996015936254980079681274900398406374501992031872509960159362549800796812749003984063745019920318725099601593625498007968127490039840637450199203187250996015936254980079681274900398406374501992031872509960159362549800796812749003984063745019920318725099601593625498007968127490039840637450199203187250996015936254980079681274900398406374501992031872509960159362549800796812749003984063745019920318725099601593625498007968127490039840637450199203187250996015936254980079681274900398406374501992031872509960159362549800796812749003984063745019920318725099601593625498007968127490039840637450199203187250996015936254980079681274900398406374501992031872509960159362549800796812749003984063745019920318725099601593625498007968127490039840637450199203187250996015936254980079681274900398406374501992031872509960159362549800796812749003984063745019920318725099601593625498007968127490039840637450199203187250996015936254980079681274900398406374501992031872509960159362549800796812749003984063745019920318725099601593625498007968127490039840637450199203187250996015936254980079681274900398406374...
Jaka cyfra stoi na 2007 miejscu tego rozwinięcia? A jaka na 2008? Jak to przewidzieć?
Przecież, jak każda liczba wymierna, jest to ułamek okresowy. Długość okresu nie może być większa niż wartość mianownika. Dlaczego?
$\frac{2007}{2008}$ = 0,999(50199203187250996015936254980079681274900398406374)
Yyyyy....
Nie kumam... Napisz to jaśniej... Okej?!
Jaśniej?
Cyfry w nawiasie powtarzają się okresowo, tzn. że należy je w kołko dopisywać. Np. 0,999(876) to 0,9998768768768768768768...., a jak się już wie, jaka grupa cyfr się powtarza, to łatwo obliczyć, która wypadnie na miejscu 2007. Nie?
Dopytywanko
A skąd wynika długość rozwinięcia? Bo patrzę i nie widzę, choć pamiętam dowód rusunkowy, pod którym był napis "Patrz!".
Długość okresu
To "Patrz!" to raczej pod dowodem twierdzenia Pitagorasa było.
A z długością okresu jest tak:
1) Oszacowanie
Z algorytmu dzielenia pisemnego wynika, że on nie może być dłuższy niż wielkość mianownika. Jeśli dzielimy dajmy na to 2007/2008 okres pojawi się wtedy, gdy w algorytmie po raz pierwszy powtórzy się reszta w tym dzieleniu (bo od tego momentu powtarza się już cały rachunek, a więc i cyfry w ilorazie i stąd otrzymujemy okres). A przecież możliwych reszt z dzielenia przez 2008 jest 2008 (a raczej 2007, bo resztę równą 0 wykluczamy). Jakaś reszta musi się więc powtórzyć i to najpóźniej w 2007 kroku. Oczywiście może się to zdarzyć wcześniej, więc okres ma długość co najwyżej 2007.
2) Dokładny wynik
Dokładną liczbę cyfr w okresie ułamka obliczył francuski matematyk żyjący na przełomie XVII i XVIII wieku - Gotfryd Wilhelm Leibnitz (jego pradziadek był Polakiem i nazywał się Lubieniecki). Ten wynik jest trudny do wykazania, ale stosuje się dość łatwo. Trzeba:
a) rozłożyć mianownik ułamka na czynniki pierwsze,
b) wybrać czynniki różne od 2 i 5 i pomnożyć,
c) zbadać, ile dziewiątek ma pierwsza z liczb złożonych z samych dziewiątek (tzn. z liczb 9, 99, 999, ...), która jest podzielna przez iloczyn uzyskany w b),
d) tyle, ile jest tych dziewiątek, tyle cyfr ma okres ułamka.
Jaka cyfra na 2007. miejscu?
Ten ułamek ma w rozwinięciu 3 cyfry, a potem jest 40-cyfrowy okres. Pozycja 2007 to 3+50·40+4, a czwartą cyfrą okresu jest 9.
Jak to obliczyć?
Wyżej opisano sposób stwierdzenia, ile jest cyfr w okresie ułamka, bez wyliczania jego rozwinięcia. Ale akurat w powyższym przykładzie to niewiele daje (chyba nikt nie sprawdzał podzielności przez liczby 40 cyfrowe). Myślę, że tu łatwiej jest jednak obliczyć wprost to rozwinięcie, choć nie wiem, jak to jest zrobione. Tak długich rozwinięć nie podaje żaden kalkulator i chyba komputer sam z siebie też nie. Ciekawa jestem, jak to jest obliczane. Czy można tu zastosować jakąś sztuczkę?
Sztuczki są
O tym, jak obliczać na zwykłym kalkulatorze dalekie cyfry rozwinięć dziesiętnych ułamków, piszemy w kolejnych tekstach w tym dziale.