Szprychy w cylindrze (2) - f-stożki i anty-f-stożki

Data ostatniej modyfikacji:
2012-07-7
Autor: 
Krzysztof Omiljanowski
pracownik IM UWr
Poziom edukacyjny: 
szkoła średnia z maturą
szkoła profilowana zawodowa
Dział matematyki: 
funkcje
geometria przestrzenna
Do rysunków 3D użyto apletu www.javaview.de/
Można w nich manipulować myszą.


 

Poniższe cztery powierzchnie utworzono według jednakowego schematu:
  -  każda mieści się w cylindrze (o promieniu 1),
 -  każda jest zbudowana z patyków - odcinków zaczepionych jednym końcem w środku podstawy cylindra,
 -  drugie końce tych patyków sięgają do powierzchni bocznej cylindra.
Najlepiej widać to na pierwszym rysunku. Sprawdź.





Patrząc z góry, można zauważyć, że nad każdą 'szprychą' w podstawie cylindra jest dokładnie jeden patyk.
Przepis na taką powierzchnię jest następujący:

dla zadanej funkcji f (x) określonej na odcinku [0,1]
nad/pod 'szprychą' w podstawie, która tworzy z osią OX kąt x . 360o,
zaczepiamy w środku podstawy patyk, którego drugi koniec
leży na powierzchni cylindra na wysokości  f (x).
Dla funkcji stałych otrzymamy w ten sposób powierzchnie boczne stożków.
Ogólnie nazwijmy takie powierzchnie f-stożkami.

Według podobnego schematu określamy powierzchnie, które nazwiemy anty-f-stożkami:
każda taka powierzchnia zawarta jest w cylindrze (o promieniu 1) i jest zbudowana z patyków - odcinków zaczepionych jednym końcem w osi cylindra, których drugie końce leżą na okręgu podstawy cylindra. A dokładniej:

dla zadanej funkcji f (x) określonej na odcinku [0,1]
nad/pod 'szprychą' w podstawie cylindra, która tworzy z osią OX kąt x . 360o,
zaczepiamy w osi cylindra patyk na wysokości  f (x),
a jego drugi koniec zaczepiamy na brzegu podstawy cylindra (na poziomie 0).
Dla funkcji stałych otrzymujemy w ten sposób powierzchnie boczne stożków.

 

ZADANIE 1.  Dla podanych niżej funkcji
a)  znajdź pary f-stożków podobnych (w potocznym znaczeniu tego słowa),
b)  znajdź pary anty-f-stożków podobnych (w potocznym znaczeniu tego słowa).

f1(x) = sin(x . 4) / 2
f2(x) = sin2(x . 4) - 1/2
f3(x) = sin(x . 6) / 2
f4(x) = cos2(x . 6) -1/2
f5(x) = sin(x . 2) / 2
f6(x) = sin(x . 3) / 2
f7(x) = cos(x . 3) / 2
f8(x) = | sin(x . 3) |
f9(x) = sin2(x . 3) - 1/2
f10(x) = | sin(x . 2) |
f11(x) = 64x(x - 0,25)(x - 0,75)(x - 1)
f12(x) = | 20x(x - 0,5)(x - 1) | - 1/2

 

anty:

 

 


 

Rozważmy teraz funkcje f, które na przedziale [0, 1] przyjmują tylko wartości nieujemne.

Określamy f-bryłę następująco:
jest ograniczona od dołu przez podstawę cylindra (o promieniu 1), od góry przez powierzchnię f-stożka, a 'z boków' przez powierzchnię cylindra.

Podobnie określamy anty-f-bryłę:
jest ograniczona od dołu przez podstawę cylindra (o promieniu 1), a od góry przez powierzchnię anty-f-stożka.

Dla funkcji stałej f (x) = 1 mamy oczywiście (dlaczego oczywiście?):

objętość f-bryły jest równa 2/3,
objętość anty-f-bryły jest równa /3.

Dla niektórych innych funkcji też można łatwo znaleźć objętości ich f-brył i anty-f-brył.

Na poniższym rysunku f-bryła i anty-f-bryła podzielone są na sektory.
Pokazany też jest dokładnie pierwszy sektor, o wysokości mniej więcej f(0).
Inne sektory wyglądają podobnie.

 

anty:
bryła:   sektor:

 

Przyglądając się pojedynczemu sektorowi f-bryły i anty-f-bryły (dla tej samej funkcji f), można zobaczyć tezę poniższego twierdzenia.

Twierdzenie A
Dla dowolnej funkcji f (o wartościach nieujemnych)

objętość f-bryły   =   objętość anty-f-bryły .

Można też zauważyć, że powierzchnia boczna f-bryły (zawarta w powierzchni bocznej cylindra) jest niemal taka sama, jak powierzchnia pod wykresem funkcji f.
'Niemal' oznacza, że trzeba rozciągnąć w poziomie powierzchnię pod wykresem funkcji (rozciągając ją 2 razy), by móc ją nakleić na powierzchnię boczną f-bryły.

Przyglądając się pojedynczemu sektorowi f-bryły, można zobaczyć, że jest to niemal ostrosłup o wierzchołku w środku podstawy cylindra, którego wysokością jest promień podstawy cylindra (=1) i którego podstawą jest (niemal) trapez.
Ten trapez jest 2 razy szerszy od odpowiadającego mu paska powierzchni pod wykresem f.
Stąd widać tezę poniższego twierdzenia.

Twierdzenie B
Dla dowolnej funkcji f (o wartościach nieujemnych), gdy A oznacza pole powierzchni pod wykresem funkcji f (na przedziale [0,1]), to

objętość f-bryły   =   A .

 


 

ZADANIE 2.  Dla poniższych funkcji f oblicz objętość:
a)  f-bryły,
b)  anty-f-bryły.

 


 

ZADANIE 3.  Dla których z poniższych funkcji fk objętość fk-bryły jest:

    a)  mniejsza od 2/3?          b)  równa 2/3?          c)  większa od 2/3?

 


 

ZADANIE 4.  Czy istnieje jakaś zależność pomiędzy objętością f-bryły a objętością bryły pod f-schodami?

 



 

Jeśli zainteresował Cię ten temat, zajrzyj koniecznie do kolejnych artykułów: Szprychy w cylindrze (3) - f-abażury oraz Szprychy w cylindrze (4) - f-ślimaki.

Powrót na górę strony