Puszka pod kloszem

Puszka pod kloszem

Data ostatniej modyfikacji:
2009-11-5

Autor:

Krzysztof Omiljanowski

pracownik IM UWr

Poziom edukacyjny:

szkoła średnia z maturą

Dział matematyki:

geometria syntetyczna

geometria przestrzenna

Czemu 'pod kloszem'? Bo w koszu i pod namiotem już było.
Zbadamy, jakie puszki mieszczą się pod kloszem, szczegółowo omawiając dwa rodzaje: stojące i leżące. Za pomocą programu komputerowego (do obliczeń symbolicznych) można zbadać, jakie wymiary mają takie puszki o największej objętości.

Klosz = stożek o wysokości H i promieniu podstawy R.
Puszka = walec o wysokości h i promieniu podstawy r.

Rozważymy tylko dwa najprostsze przypadki pokazane poniżej.
Są to dwa rodzaje puszek: stojące i leżące (kliknij 'play').

I II

Puszki te są 'zablokowane', nie można zwiększyć ani ich promienia, ani wysokości. Jak się klinują? W jakich punktach dotykają powierzchni klosza? To podstawowe pytanie. Bez dokładnego zbadania 'punktów styku' nie można przejść do obliczeń.

I Puszki stojące

Puszki stojące, poza dolnym denkiem stykają się z kloszem wzdłuż okręgu górnego denka. Zależność pomiędzy promieniem i wysokością puszki można nietrudno odczytać z przekroju osiowego:

R : H = r : (H - h) , skąd r = R/H ^. (H - h) oraz V =

r² h =

R²/H² ^. h (H - h)² , dla h

(0, H).

Znając pochodne, można obliczyć wymiary takiej puszki o największej objętości:

h_max = 1/3 H , r_max = 2/3 R , V_max = 4/27

R²H .

II Puszki leżące

Puszki leżące stykają się z podstawą klosza wzdłuż fragmentu średnicy.
Jak się klinują? Gdzie stykają się z powierzchnią boczną klosza?

Pomocne może być wyobrażenie sobie płaszczyzn zawierających denka puszek. Są to płaszczyzny równoległe do wysokości klosza. Przekroje klosza takimi płaszczyznami NIE SĄ trójkątami (za wyjątkiem płaszczyzny zawierającej wysokość). Są 'niby-trójkątami' równoramiennymi, obszarami ograniczonymi pewnymi liniami krzywymi (są to fragmenty hiperbol, ale nie będziemy z tego dalej korzystać).

h = 0.4^. 2R

Puszki leżące klinują się, to znaczy, że okręgi ograniczające ich denka (oba) są wpisane w te 'niby-trójkąty'. Na rysunkach obok widać punkty styczności z 'niby-ramionami'.

Widać też, że są dwa takie punkty, gdzie puszka ma małą wysokość. Zwiększając wysokość puszki h, osiągamy pewną graniczną wartość (nazwijmy ją h_c), od której począwszy jest już tylko jeden punkt styczności z 'niby-ramionami' - 'niby-wierzchołek'.

Jak wyznaczyć promień r puszki w zależności od jej wysokości h?
Zakładamy, że dane są wymiary klosza: R i H.
Przeanalizujemy trzy przypadki:
IIa puszki leżące o małych wysokościach, h (0, h_c) ,
IIb puszki leżące o dużych wysokościach, h (h_c, 2R) ,
IIc puszka leżąca o wysokości h = h_c .

IIa Puszki leżące, h < h_c

Przekrójmy klosz i puszkę płaszczyzną zawierającą oś klosza i prostopadłą do denek puszki.

Pomyślmy o kuli stycznej do powierzchni bocznej klosza (ale nie do podstawy), o środku leżącym na wysokości klosza. Dobierzmy ją tak, by stykała się z powierzchnią klosza wzdłuż 'równoleżnika' wyznaczonego przez punkt styczności denka puszki i klosza.
Jej promień oznaczmy r_k.

Zauważmy, że przekrój takiej kuli płaszczyzną zawierającą denko puszki jest właśnie denkiem puszki. Zatem środek tej kuli leży na wysokości r ponad podstawą klosza.

Teraz łatwo (z podobieństwa trójkątów i tw. Pitagorasa) mamy: