O r-ostrosłupach i R-ostrosłupach

Definicja r
Gdy w wielokąt W wpisany jest okrąg o promieniu r i na tym wielokącie zbudujemy ostrosłup tak, że jego spodek wysokości pokrywa się ze środkiem O okręgu wpisanego w W i wysokość tego ostrosłupa jest równa r, to taką bryłę nazywamy r-ostrosłupem.

Od razu widać, że r-ostrosłup jest 'stowarzyszony' z półkulą o promieniu r, o środku w środku okręgu wpisanego w podstawę.
"Stowarzyszony" oznacza, że biegun północny półkuli pokrywa się z wierzchołkiem r-ostrosłupa i podstawa półkuli pokrywa się z kołem wpisanym w podstawę r-ostrosłup.
Zobacz.

Na początek zobaczmy kilka przykładów.
Zaczniemy od r-ostrosłupa o podstawie kwadratowej.
Jego własności wynikają z własności trójkąta MON.

Przykład 1  
Dla r-ostrosłupa o podstawie kwadratowej opisanej na okręgu o promieniu r, mamy:

  Objętość   =   1/3 × 4r² × r   =   4/3 r³   =   1/6 a³.

  Kąt nachylenia ścian bocznych do podstawy  =  45^o.

  Wysokości ścian bocznych   =   r   =   a /2 .

  Pole powierzchni bocznej   =   4 × 1/2 × 2r × r   =   4 r²   =   a² .

  Pole powierzchni całkowitej   =   4r² + 4 r²   =   4(1 + ) r²   =   (1 + ) a².

  Promień kuli wpisanej   =   ( – 1) r   =   ( – 1)/2 a .

  Łączna długość krawędzi   =   8r + 4r   =   4(2 + ) r   =   2(2 + ) a .

  Promień kuli opisanej   =   3/2 r   =   3/4 a .

Zadanie 1  
Podaj własności (podobnie jak w Przykładzie 1) r-ostrosłupa o podstawie będącej rombem o przekątnych 6 i 8.

Zadanie 2  
Podaj własności (podobnie jak w przykładzie 1) r-ostrosłupa o podstawie będącej trójkątem równobocznym o boku a.

Własności ogólne dowolnego r-ostrosłupa są treścią poniższego twierdzenia.

Twierdzenie r  
Dowolny r-ostrosłup o podstawie opisanej na okręgu o promieniu r ma następujące własności:

  Objętość   =   1/3 × pole podstawy × r .

  Objętość   =   1/3 × (obwód podstawy × r/2) × r   =   r ² / 6 × obwód podstawy .

  Ściany boczne nachylone są do podstawy pod kątem   =   45 ^o .

  Wysokości ścian bocznych mają długość;   =   r .

  Pole powierzchni bocznej   =   1/2 × obwód podstawy × r .

  Pole powierzchni całkowitej   =   pole podstawy × (1 + ) .

  Pole powierzchni całkowitej   =   obwód podstawy × r/2 × (1 + ) .

  Promień kuli wpisanej   =   r × ( – 1) .

Zadanie 3.   (dla znających trygonometrię)
Podaj własności (podobnie jak w przykładzie 1) r-ostrosłupa o podstawie będącej n-kątem foremnym opisanym na okręgu o promieniu r. Odpowiedzi sformułuj tylko w zależności od r i n.

Uwaga  
Dla 'dużych' wartości n
r-ostrosłup wygląda prawie jak stożek.
Jaki?

Definicja R
Gdy wielokąt W jest opisany na okręgu o promieniu R i na tym wielokącie zbudujemy ostrosłup tak, że jego spodek wysokości pokrywa się ze środkiem O okręgu opisanego na W i wysokość tego ostrosłupa jest równa R, to taką bryłę nazywamy R-ostrosłupem.

Uwaga. R-ostrosłupy mają mniej 'porządnych' własności niż r-ostrosłupy.
Zbadaj to pojęcie podobnie jak w przypadku r-ostrosłupów.

PROBLEM R
Opisz podstawowe własności R-ostrosłupów. Zacznij od przykładów.

PROBLEM rR
Porównaj dwa ostrosłupy: r-ostrosłup i R-ostrosłup o tej samej podstawie. Zacznij od przykładów.