Podstawa programowa a wymagania na egzamin maturalny 2021

Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej z 27 VIII 2012 w sprawie podstawy programowej wychowania przedszkolnego oraz kształcenia ogólnego w poszczególnych typach szkół (Dziennik Ustaw 2012, poz.977, załącznik 4) http://www.lex.pl/du-akt/-/akt/dz-u-2012-977

Rozporządzenie Ministra Edukacji i Nauki z 16 grudnia 2020 r. zmieniające rozporządzenie w sprawie szczególnych rozwiązań w okresie czasowego ograniczenia funkcjonowania jednostek systemu oświaty w związku z zapobieganiem, przeciwdziałaniem i zwalczaniem COVID-19.
https://isap.sejm.gov.pl/isap.nsf/DocDetails.xsp?id=WDU20200002314

załącznik nr 2 zawierający wymagania egzaminacyjne na egzamin maturalny obowiązujące w 2021 r.

Skrót postanowień:

Kolorem czerwonym wyróżniono w podstawie programowej dla III i IV etapu wymagania, które nie będą uwzględnione na egzaminie maturalnym

III etap edukacyjny

Cele kształcenia - wymagania ogólne. Uczeń

I. Wykorzystanie i tworzenie informacji.

interpretuje i tworzy teksty o charakterze matematycznym,
używa języka matematycznego do opisu rozumowania i uzyskanych wyników.

II. Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji.

uzywa prostych dobrze znanych obiektów matematycznych.
interpretuje pojęcia matematyczne i operuje obiektami matematycznymi,

III. Modelowanie matematyczne.

dobiera model matematyczny do prostej sytuacji,
buduje model matematyczny danej sytuacji,

IV. Użycie i tworzenie strategii.

stosuje strategię jasno wynikającą z treści zadania.
tworzy strategię rozwiązania problemu.

V. Rozumowanie i argumentacja.

prowadzi proste rozumowania,
podaje argumenty uzasadniające poprawność rozumowania.

Tresci nauczania - wymagania sczególowe. Uczeń:

1. Liczby wymierne dodatnie.

odczytuje i zapisuje liczby naturalne dodatnie w systemie rzymskim w zakresie do 3000,
dodaje i odejmuje, mnoży i dzieli liczby wymierne zapisane w postaci ułamków zwykłych lub liczb o rozwinięciach dziesiętnych skończonych zgodnie z własną strategią obliczeń oraz z wykorzystaniem kalkulatora,
zamienia ułamki zwykłe na liczby dziesiętne (skończone i okresowe) i na odwrót,
zaokrągla rozwinięcia dziesiętne liczb z zadaną dokładnością,
oblicza wartości nieskomplikowanych wyrażeń arytmetycznych zawierających ułamki zwykłe i liczby dziesiętne,
szacuje wartości wyrażeń arytmetycznych,
stosuje obliczenia na liczbach wymiernych z zastosowaniem rozwiązywania problemów w kontekście praktycznym, w tym do zamiany jednostek (prędkości, gęstości itp.).

2. Liczby wymierne.

interpretacja liczb wymiernych na osi liczbowej, obliczanie odległości między dwiema liczbami na osi,
wskazywanie na osi liczbowej zbiorów liczb spełniających warunki typu: x≥ 3, x<5;
dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie liczb wymiernych,
obliczanie wartości nieskomplikowanych wyrażeń arytmetycznych zawierających liczby wymierne.

3. Potęgi

oblicza potęgi liczb wymiernych o wykładnikach naturalnych,
zapisuje w postaci jednej potęgi: iloczyny i ilorazy potęg o takich samych podstawach lub o takich samych wykładnikach oraz potęgę potęgi (przy wykładnikach naturalnych),
porównuje potęgi o różnych wykładnikach naturalnych i takich samych podstawach oraz o takich samych wykładnikach naturalnych i różnych dodatnich podstawach,
zamienia potęgi o wykładnikach całkowitych ujemnych na odpowiednie potęgi o wykładnikach naturalnych,
zapisuje liczby w notacji wykładniczej, tzn. w postaci a·10^k, gdzie 1≤α<10 i k jest liczbą całkowitą.

4. Pierwiastki.

oblicza wartości pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia z liczb, które są odpowiednio kwadratami lub sześcianami liczb wymiernych,
wyłącza czynniki przed znak pierwiastka oraz włącza go pod znak pierwiastka,
mnoży i dzieli pierwiastki drugiego i trzeciego stopnia.

5. Procenty.

przedstawia część pewnej wielkości jako procent lub promil tej wielkości i odwrotnie,
oblicza procent danej liczby,
oblicza liczbę na podstawie danego jej procentu,
stosuje obliczenia procentowe do rozwiązywania problemów w kontekście praktycznym, np. oblicza ceny po podwyżce lub obniżce o dany procent, wykonuje obliczenia związane z podatkiem VAT, oblicza odsetki dla lokaty rocznej.

6. Wyrażenia algebraiczne.

opisuje za pomocą wyrażeń algebraicznych związki między różnymi wielkościami,
oblicza wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych,
redukuje wyrazy podobne w sumie algebraicznej,
dodaje i odejmuje sumy algebraiczne,
mnoży jednomiany, mnoży sumy algebraiczne przez jednomian oraz w nietrudnych przykładach mnoży sumy algebraiczne,
wyłącza wspólny czynnik wyrazów sumy algebraicznej przed nawias,
wyznacza wskazaną wielkość z podanych wzorów, w tym geometrycznych i fizycznych.

7. Równania.

zapisuje związki między wielkościami za pomocą równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, w tym związki między wielkościami wprost i odwrotnie proporcjonalnymi,
sprawdza, czy dana liczba spełnia równanie stopnia pierwszego z jedną niewiadomą,
rozwiązuje równania stopnia pierwszego z jedną niewiadomą,
zapisuje związki między nieznanymi wielkościami za pomocą układu dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi,
sprawdza, czy dana para liczb spełnia układ dwóch równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi,
rozwiązuje układy równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi,
opisuje za pomocą równań lub układów równań zadań osadzone w kontekście praktycznym i ich rozwiązywanie.

8. Wykresy funkcji

zaznacza w układzie współrzędnych na płaszczyźnie punkty o danych współrzędnych,
odczytuje współrzędne danych punktów,
odczytuje z wykresu funkcji wartości funkcji dla danego argumentu, argumenty dla danej wartości funkcji, ustala dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie lub ujemne, ustala miejsca zerowe funkcji,
odczytuje i interpretuje informacje przedstawione za pomocą wykresów funkcji (w tym opisujących zjawiska występujące w przyrodzie, gospodarce, życiu codziennym),
oblicza wartości funkcji podanych nieskomplikowanym wzorem i zaznacza punkty należące do jej wykresu.

9. Statystyka opisowa i wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa.

interpretuje dane przedstawione za pomocą tabel, diagramów słupkowych i kołowych oraz wykresów,

wyszukuje, selekcjonuje i porządkuje informacje źródłowe,
przedstawia dane w tabeli oraz za pomocą diagramu słupkowego lub kołowego,
wyznacza średnią arytmetyczną i medianę zestawu danych,
analizuje proste doświadczenia losowe (np. rzutu kostką lub monetą, wyciąganie losu) i określa prawdopodobieństwa najprostszych zdarzeń w tych doświadczeniach (wypadnięcie orła w rzucie monetą, wypadnięcie dwójki lub szóstki w rzucie kostką itp.).

10. Figury płaskie

korzysta ze związków między kątami utworzonymi przez prostą przecinającą dwie proste równoległe,
rozpoznaje wzajemne położenia prostej i okręgu, rozpoznaje styczną do okręgu,
korzysta z faktu, ze styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poorowadzonego do punktu styczności,
rozpoznaje kąty środkowe,
oblicza długość okręgu i jego łuku,
oblicza pole koła, pierścienia kołowego, wycinka kołowego,
stosowanie twierdzenia Pitagorasa,
korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach,
oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów,
zamiana jednostek pola,
oblicza wymiary wielokąta powiększonego lub pomniejszonego w danej skali,
oblicza stosunek pól i obwodów wielokątów podobnych,
rozpoznaje wielokąty przystające i podobne,
stosuje cechy przystawania trójkątów,
korzyst z własności trójkątów prostokątnych podobnych,
rozpoznaje pary figur symetrycznych względem prostej i względem punktu,
rysuje pary figur symetrycznych,
rozpoznawanie figury, które mają oś lub środek symetrii, wskazuje oś i środek symetrii figur,
rozpoznaje symetralną odcinka i dwusieczną kąta,
konstruuje symetralną odcinka i dwusieczną kąta,
konstruuje kąty o miarach 60°, 30°, 45°,
konstruuje okrąg opisany na trójkącie i wpisany w trójkąt,
rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności.

11. Bryły

rozpoznaje graniastosłupy i ostrosłupy prawidłowe,
oblicza pola powierzchni i objętość graniastosłupa prostego, ostrosłupa, walca, stożka, kuli (także w zadaniach osadzonych w kontekście praktycznym),
zamienia jednostek objętości.

IV etap edukacyjny (szkoła ponadgimnazjalna)

Cele kształcenia (wymagania ogólne). Uczeń:

Zakres podstawowy	Zakres rozszerzony
1. Wykorzystanie i tworzenie informacji
interpretuje tekst matematyczny, interpretuje wynik po rozwiązaniu zadania.	używa język matematyczny do opisu rozumowania i uzyskanych wyników.
2. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji
używa prostych obiektów matematycznych.	rozumie i interpretuje pojęcia matematyczne, operuje obiektami matematycznymi.
3. Modelowanie matematyczne
dobiera model matematyczny do prostej sytuacji, krytycznie ocenia trafność modelu.	buduje model matematyczny danej sytuacji, uwzględniając ograniczenia i zastrzeżenia.
4. Użycie i tworzenie strategii
stosuje strategię wynikajacą z treści zadania.	tworzy strategię rozwiązania problemu.
5. Rozumowanie i argumentacja
prowadzi proste rozumowania, składające się z niewielkiej liczby kroków.	tworzy łańcuch argumentów i uzasadnia jego poprawność.

Treści nauczania (wymagania szczegółowe) Uczeń:

Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego.

Zakres podstawowy	Zakres rozszerzony
1. Liczby rzeczywiste
przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, rozwinięcia dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg), oblicza wartości wyrażeń arytmetycznych (w tym wymiernych), posługuje się w obliczeniach pierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje prawa działań na pierwiastkach, oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych, wykorzystuje podstawione własności potęg (również w zagadnieniach związanych z innymi dziedzinami wiedzy, np. fizyką, chemią, informatyką), wykorzystuje definicje logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi o wykładniku naturalnym, oblicza błąd bezwzględny i względny przybliżenia, posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej, wykonuje obliczenia procentowe, oblicza podatki, zyski z lokat (również złożonych na procent składany i na okres krótszy niż rok).	wykorzystuje pojęcia wartości bezwzględnej i jej interpretacji geometrycznej, zaznacza na osi liczbowej zbiory opisane za pomocą równań i nierówności typu: \|x-a\| = b, \|x-a\| < b, \|x-a\| ≥ b, stosuje w obliczeniach wzory na logarytm potęgi oraz na zamianę podstawy logarytmu.
2. Wyrażenia algebraiczne
uzywa wzory skróconego mnożenia: (a±b)² oraz a²- b²,	uzywa wzory skróconego mnożenia: (a±b)³oraz a³± b³, dzieli wielomiany przez dwumian ax + b, rozkłada wielomiany na czynniki, stosując wzory skróconego mnożenia lub wyłączając wspólny czynnik przed nawias, dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany, wyznacza dziedzinę prostego wyrażenia wymiernego z jedną zmienną, w którym w mianowniku występują tylko wyrażenia dające się łatwo sprowadzić do iloczynu wielomianów liniowych i kwadratowych, dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli wyrażenia wymierne, rozszerza i skraca (w łatwych przykładach) wyrażenia wymierne.
3. Równania i nierówności
sprawdza, czy dana liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania lub nierówności, wykorzystuje interpretację geometryczną układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi, rozwiązuje nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, rozwiązuje równania kwadratowe z jedną niewiadomą, rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą, korzysta z definicji pierwiastka do rozwiązywania równań typu x³ = -8, korzysta z własności iloczynu przy rozwiązywaniu równań typu x(x+1)(x-7) = 0, rozwiązuje proste równania wymierne prowadzące do równań liniowych lub kwadratowych, np. [tex]\frac{x+1}{x+3}=2[/tex], [tex]\frac{x+1}{x}=2x[/tex]	stosuje wzory Viète'a, rozwiązuje równania i nierówności liniowe i kwadratowe z parametrem, rozwiązuje układy równań, prowadzące do równań kwadratowych, stosuje twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian x-a, stosuje twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych, rozwiązuje równania wielomianowe dające się łatwo sprowadzić do równań kwadratowych, rozwiązuje łatwe nierówności wielomianowe, rozwiązuje proste nierówności wymierne, np. [tex]\frac{x+1}{x+3}>2[/tex], [tex]\frac{x+3}{x^2-16}<\frac{2x}{x^2-4}[/tex], [tex]\frac{3x-2}{4x-7}\leq\frac{1-3x}{5-4x}[/tex], rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną, o poziomie trudności nie wyższym niż: \|\|x+1\|-2\| = 3, \|x+3\|+\|x-5\| > 12.
4. Funkcje
określa funkcje za pomocą wzoru, tabeli, wykresu, opisu słownego, oblicza ze wzoru wartość funkcji dla danego argumentu, posługuje się poznanymi metodami rozwiązywania równań do obliczania, dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje daną wartość, odczytuje z wykresu własności funkcji (dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, maksymalne przedziały, w których funkcja maleje, rośnie, ma stały znak, punkty, w których funkcja przyjmuje w podanym przedziale wartość największą lub najmniejszą), na podstawie wykresu funkcji y=ƒ(x) szkicuje wykresy funkcji y = ƒ(x+a), y = ƒ(x)+a, y = -ƒ(x), y = ƒ(-x), rysuje wykres funkcji liniowej, korzystając z jej wzoru, wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o funkcji lub o jej wykresie, interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej, szkicuje wykres funkcji kwadratowej, korzystając z jej wzoru, wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie, interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, w ogólnej i iloczynowej (o ile istnieje), wyznacza wartość najmniejszą i największą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym, wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp. (także osadzonych w kontekście praktycznym), szkicuje wykres funkcji ƒ(x) = a/x dla danego a, korzysta ze wzoru i wykresu tej funkcji do interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, szkicuje wykresy funkcji wykładniczych dla różnych podstaw, posługuje się funkcjami wykładniczymi do opisu zjawisk fizycznych, chemicznych, a także w zagadnieniach osadzonych w kontekście praktycznym.	na podstawie wykresu funkcji y=ƒ(x) szkicuje wykresy funkcji y = \|ƒ(x)\|, y = cƒ(x), y = ƒ(cx), szkicuje wykresy funkcji logarytmicznych dla różnych podstaw, posługuje się funkcjami logarytmicznymi do opisu zjawisk fizycznych i chemicznych, także osadzonych w kontekście praktycznym, szkicuje wykres funkcji określonej w różnych przedziałach różnymi wzorami, odczytywanie własności takiej funkcji z wykresu.
5. Ciągi
wyznaczanie wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym, badanie, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny, stosowanie wzoru na n. wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, stosowanie wzoru na n. wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.	wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem rekurencyjnym, oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu 1/n, 1/n² oraz z twierdzeń o działaniach na granicach, rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza ich sumy.
6. Trygonometria
korzysta z definicji i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od 0° do 180°, korzysta z przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych (odczytuje z tablic lub oblicza za pomocą kalkulatora), oblicza miary kąta ostrego, dla której funkcja trygonometryczna przyjmuje daną wartość (dokładną lub przybliżoną korzystając z tablic lub kalkulatora), stosuje proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi, np. sin²α + cos²α = 1, sin(90°-α) = cosα, znając wartości jednej z funkcji: sinus lub cosinus, wyznacza wartości pozostałych funkcji tego sameg kata ostrego, kąta o mierze wyrazonej w stopnich lub radianach (przez sprowadzenie do przypadku kata ostrego).	stosuje miarę łukową, zamienia miarę łukową kąta na stopniową i odwrotnie, wykorzystuje definicję i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens dowolnego kąta o mierze wyrażonej w stopniach lub radianach (przez sprowadzenie do przypadku kąta ostrego), wykorzystuje okresowość funkcji trygonometrycznych, posługuje się wykresami funkcji trygonometrycznych (np. do rozwiązywania nierówności typu sinx > a, cosx ≤ a, tgx > a), stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów, rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne typu sin2x = ¹/₂, sin2x+cosx = 1, sinx+cosx = 1, cos2x < ¹/₂.
7. Planimetria
stosuje zależności między kątem środkowym i wpisanym, korzysta z własności stycznej do okręgu, korzysta z własności okręgów stycznych, rozpoznaje trójkąty podobne, wykorzystuje z cech podobieństwa trójkątów (także w kontekście praktycznym), korzysta z własności funkcji trygonometrycznych w łatwych obliczeniach geometrycznych, w tym ze wzoru na pole trójkąta ostrokątnego o danych dwóch bokach i kącie między nimi.	stosuje twierdzenie charakteryzujące czworokąty wpisane w okrąg i czworokąty opisane na okręgu, stosuje twierdzenia Talesa (proste i odwrotne) do obliczania długości odcinków i ustalania równoległości prostych, znajduje obrazy figur geometrycznych w jednokładności (odcinka, trójkąta, czworokąta), rozpoznaje figury podobne i jednokładne, wykorzystuje własności figur podobnych (także w kontekście praktycznym), znajduje związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzenia sinusów i cosinusów.
8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej
wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty (w postaci kierunkowej lub ogólnej), bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych, wyznacza równanie prostej równoległej lub prostopadłej do prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzącej przez dany punkt, oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych, wyznacza współrzędne środka odcinka, oblicza odległość dwóch punktów, znajduje obrazy figur geometrycznych (np. punktu, prostej, odcinka, okręgu, trójkąta) w symetrii osiowej względem osi układu współrzędnych i symetrii środkowej względem początku układu.	interpretuje graficznie nierówność liniową z dwiema niewiadomymi i układy takich nierówności, bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań ogólnych, wyznacza równanie prostej równoległej lub prostopadłej do prostej danej w postaci ogólnej i przechodzącej przez dany punkt, oblicza odległość punktu od prostej, posługuje się równaniem okręgu (x-a)² + (y-b)² = r² , opisuje koła za pomocą nierówności, wyznacza punkty wspólnych prostej i okręgu, oblicza współrzędne i długość wektora, dodajei odejmuje wektory, mnoży je przez liczbę, interpretuje geometrycznie działania na wektorach, stosuje wektory do opisu przesunięcia wykresu funkcji.
9. Stereometria
rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąt między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi), oblicza miary tych kątów, rozpoznawanie w graniastosłupach i ostrosłupach kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. krawędziami i ścianami, przekątnymi i ścianami), oblicza miary tych kątów, rozpoznaje w walcach i stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów, rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąt między ścianami, określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną, stosuje trygonometrię do obliczania długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości graniastosłupów.	określa, jaką figurą jest dany przekrój sfery płaszczyzną, określa, jaką figurą jest dany przekrój graniastosłupa lub ostrosłupa płaszczyzną.
10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka
oblicza średnią ważoną i odchylenia standardowego zestawu danych (także pogrupowanych), interpretuje te parametry dla danych empirycznych, zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych, niewymagających użycia wzorów kombinatorycznych, stosuje regułę mnożenia i dodawania, oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa.	wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych, oblicza prawdopodobieństwo warunkowe, korzysta z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym.
11. Rachunek różniczkowy
	oblicza granice funkcji (i granic jednostronnych), korzystając z twierdzeń o działaniach na granicach i z własności funkcji ciągłych, oblicza pochodne funkcji wymiernych, korzysta z geometrycznej i fizycznej interpretacji pochodnej, korzysta z własności pochodnej do wyznaczenia przedziałów monotoniczności funkcji, znajduje ekstrema funkcji wielomianowych i wymiernych, stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.

Arcydzieło miesiąca

Cytat miesiąca

Impreza miesiąca

Bohater miesiąca

Bryła miesiąca

Pytanie miesiąca

Problem miesiąca