Poniżej podajemy podstawowe własności różnych działań z przykładami ich zastosowania.
Przemienność
Oznacza, że możemy dowolnie zmieniać kolejność liczb występujących w działaniu, np.
- dodawanie jest przemienne, bo a + b = b + a,
- mnożenie jest przemienne, bo a x b = b x a.
Przemienność działań stosujemy zawsze, gdy zmiana kolejności ułatwia obliczenia, np.
- zamiast dodawać liczby tak: 11+12+13+14+15+16+17+18+19, dodajemy tak: 11+19+12+18+13+17+14+16+15, bo łatwo obliczyć, że to 30+30+30+30+15, czyli 135,
- zamiast mnożyć liczby tak: 2·7·5·3, mnożymy tak: 2·5·7·3, bo łatwo obliczyć, że to 10·21, czyli 210.
Uwaga! Dodawanie może nie być przemienne, jeśli liczba składników jest nieskończona, np. suma liczb [tex]1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\ldots[/tex] wynosi około 0,693, ale przestawiając odpowiednio składniki można otrzymać sumę dowolnie bliską 2. Wtedy trzeba zacząć w takiej kolejności: [tex]1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\frac{1}{15}-\frac{1}{2}+\ldots[/tex]
Nieprzemienność
Oznacza, że nie możemy zamieniać kolejności liczb w działaniu, np.
- odejmowanie jest nieprzemienne, bo nie zawsze a - b = b - a,
- dzielenie jest nieprzemienne, bo nie zawsze a : b = b : a,
- potęgowanie jest nieprzemienne, bo nie zawsze ab = ba,
- dodawanie może być nieprzemienne, jeśli liczba składników jest nieskończona (patrz przykład wyżej).
Łączność
Oznacza, że przy działaniach na większej ilości liczb możemy dowolnie łączyć je nawiasami i obliczać wyniki cząstkowe.
- Dodawanie jest łączne, bo liczmy np. tak: 11+19+12+18+13+17+14+16 = (11+19) + (12+18) + (13+17) + (14+16) = 30+30+30+30 = 120
- Mnożenie jest łączne, bo liczymy np. tak: 2x5x7x3 = (2x5) x (7x3) = 10x21 = 210.
- Potęgowanie nie jest łączne, bo wstawiając na dwa sposoby nawiasy w wyrażeniu [tex]a^{b^c}[/tex], otrzymamy [tex]{(a^b)}^c\neq a^{(b^c)}[/tex].
Uwaga! Dodawanie i mnożenie mogą nie być łączne, jeśli ilość liczb w działaniu jest nieskończona, np. jeśli wstawimy nawiasy do sumy 1+(-1)+1+(-1)+1... w taki sposób:
- [1+(-1)]+[1+(-1)]+[1+(-1)]..., to otrzymamy 0+0+0..., czyli 0,
- 1+[(-1)+1]+[(-1)+1]+..., to otrzymamy 1+0+0+... czyli 1.
Rozdzielność
Jedno działanie może być rozdzielne względem innego działania. Jeśli te dwa działania oznaczymy jako ° (kółko) i × (krzyżyk), to
- rozdzielność kółka względem krzyżyka oznacza, że a°(b×c) = a°b × a°c
- rozdzielność krzyżyka względem kółka oznacza, że a×(b°c) = a×b ° a×c
Uwaga! Rozdzielność nazywamy też prawem wyciągania wspólnego czynnika przed lub za nawias. Wiele razy z tego prawa korzystamy w rachunkach, np x2+x = x(x+1) albo 7x +3x =
(7+3)x = 10x.
Uwaga! Tak naprawdę powyżej zapisaliśmy tylko prawostronną rozdzielność jednego działania względem drugiego. Może zachodzić też lewostronna rozdzielność. Czy potrafisz zapisać, jakie warunki są wtedy spełnione? Jeśli działanie jest przemienne, jego prawa- i lewostronna rozdzielność zachodzą jednocześnie. Jeśli nie jest przemienne, rozdzielność może zachodzić z jednej strony, a z drugiej nie. Czy potrafisz podać przykłady takich działań?
- Mnożenie jest rozdzielne względem dodawania, bo a·(b+c) = a·b + a·c.
Ta rozdzielność zachodzi też z lewej strony (bo mnożenie jest przemienne),
(b+c)·a = b·a + c·a. - Mnożenie jest rozdzielne względem odejmowania, bo a·(b-c) = a·b - a·c.
- Dodawanie nie jest rozdzielne względem mnożenia, bo a+b·c ≠ (a+b) · (a+c).
- Potęgowanie jest rozdzielne względem mnożenia, bo (a·b)c = ac · bc.
- Mnożenie nie jest rozdzielne względem potęgowania, bo a·bc ≠ abac.
Łatwiej widać tę własność, gdy jako symbolu potęgowania użyje się (jak w kalkulatorze lub w komputerze) znaku "^": a·(b^c) ≠ a·b ^ a·c. - Potęgowanie nie jest rozdzielne względem dodawania, bo np. (a+b)2 ≠ a2 + b2.
Rozdzielność mnożenia względem dodawania lub odejmowania stosujemy np. przy mnożeniu liczb dwu- i trzycyfrowych, aby ułatwić sobie rachunki, np.
- 21·7 obliczamy tak: 20·7 + 1·7 = 140+7 = 147,
- 99·6 obliczamy tak: 100·6 - 1·6 = 600-6 = 594,
- 231·3 obliczamy tak: 200·3 + 30·3 + 1·3 = 600+90+3 = 693.
