Łamigłówka "2 w 1"

Data ostatniej modyfikacji:
2009-11-28

W artykule Tuzin dwunastościanów wspominaliśmy, że dwunastościan rombowy (rys. 1) ma wiele ciekawych własności.

Rys. 1

W tym miejscu prezentujemy interesującą łamigłówkę związaną z tą bryłą.  Składa się ona z sześciu przystających klocków (rys. 2, 3).

 

Rys. 2 (widok "z przodu")                                    Rys. 3 (widok "z tyłu")      

Z łatwością można je wykonać samodzielnie. Kliknięcie w poniższy link otwiera w nowym oknie siatkę takiego elementu.

element łamigłówki

Z sześciu klocków można ułożyć zarówno dwunastościan rombowy jak i graniastosłup prawidłowy sześciokątny (rys. 4).

 

Rys. 4

Po uporaniu się z tymi problemami można zmierzyć się z dodatkowym zadaniem - wyznaczyć stosunek długości krawędzi bocznej do krawędzi podstawy w tym graniastosłupie.

Łamigłówka ta w oczywisty sposób pokazuje, że dwunastościan rombowy można pociąć na skończenie wiele wielościennych części, z których da się złożyć pewien graniastosłup prawidłowy sześciokątny. Można sformułować problem ogólny: czy mając dwa wielościany o równych objętościach jest możliwe pocięcie jednego z nich na skończoną ilość wielościanów, z których da się zbudować tę drugą bryłę.

W 1900 roku David Hilbert umieścił ten problem na liście 23 najistotniejszych zadań stojących przed matematyką u progu XX wieku. Część zagadnień z jego listy do tej pory czeka na rozwiązanie, ale akurat ten problem został rozstrzygnięty bardzo szybko. Jeszcze w tym samym roku uczeń Hilberta - Max Dehn - podając kontrprzykład, wykazał, że nie zawsze jest to możliwe. Wiadomo na przykład, że czworościanu nie da się pociąć tak, by z otrzymanych wielościanów można było złożyć sześcian.

Inaczej rzecz ma się na płaszczyźnie. Na początku XIX wieku wykazano, że mając dane dwa wielokąty o równych polach można pociąć jeden z nich na mniejsze wielokąty i zbudować z nich ten drugi (twierdzenie to nosi nazwę twierdzenia Bolayi-Gerwiena). Więcej na ten temat piszemy na Portalu tutaj. 

 

Wizerunki wielościanów zostały wyeksportowane z programu Great Stella. Siatka została przygotowana przy użyciu programu Wingeom.

 

Powrót na górę strony