Pitagoras z Samos

Data ostatniej modyfikacji:
2012-11-9
Autor: 
Małgorzata Tomiczek
nauczycielka w Gimnazjum w Mroczeniu
Dział matematyki: 
arytmetyka
geometria syntetyczna
historia matematyki
Narodowość: 
grecka
Data i miejsce urodzenia: 
ok. 572-569 p.n.e. wyspa Samos
Data i miejsce śmierci: 
ok. 497-475 p.n.e. Metapont
Miejscowości lub uczelnie, gdzie działał: 
wyspa Samos, Krotona, Metapont

Pitagoras urodził się w rodzinie kupieckiej na greckiej wyspie Samos. W młodości wiele podróżował, a w wieku ok. 40 osiadł w greckiej kolonii na południu Italii w mieście Krotona. Był filozofem, etykiem, politykiem i matematykiem. Założył w Krotonie szkołę zwaną Związkiem Pitagorejskim, która dała podwaliny nurtowi filozofii zwanemu dziś pitagoreizmem. Była to dominująca doktryna intelektualna przez cały okres starożytności. Pitagorejczycy zajmowali się głównie geometrią i teorią liczb. Tu narodziły się i zostały skutecznie rozwiązane trzy wielkie problemy matematyki starożytnej: podwojenie sześcianu, trysekcja kąta (czyli jego podział na trzy równe części) oraz kwadratura koła - warunek, aby konstrukcje te wykonać za pomocą samego cyrkla i linijki (co jest niemożliwe), pojawił się dopiero w czasach Platona. Po wygnaniu z Krotony pod koniec życia Pitagoras zamieszkał w Metaponcie, gdzie przebywał aż do śmierci.


Życie i działalność:
Pitagoras nie zostawił po sobie żadnych pism. O jego dokonaniach dowiadujemy się z dzieł filozofów greckich żyjących ponad 200 lat później (m. in. Diogenesa, Porfiriosa czy Jamblichosa). Nie jest nawet możliwe dokładne ustalenie lat jego życia.
Wiadomo, że w młodości odwiedził m.in. Indie, Egipt, Syrię i Mezopotamię, gdzie zetknął się z tamtejszymi systemami filozoficzno-religijnymi. W Jonii był uczniem Talesa.

Poza filozofią (w tym głównie etyką i matematyką) interesował się astronomią (twierdził, że Ziemia jest kulista i istnieje w "kosmosie") i medycyną (uważa się go za twórcę medycyny holistycznej, czyli leczenia polegającego na przywróceniu choremu równowagi psychofizycznej na podstawie analizy jego otoczenia, relacji z ludźmi, zachowań, nawyków, a nawet snów). Po rozpadzie Związku Pitagorejskiego spowodowanego odkryciem liczb niewymiernych Pitagoras został wypędzony z Krotony, jego szkoła została spalona, a on sam do końca życia przebywał na wygnaniu w Metaponcie. Jednak idee pitagoreizmu przetrwały jeszcze kilka stuleci i wywarły trwałe piętno na rozwoju nauki.

Pitagoreizm:
Główną ideą tego poglądu filozoficznego było przekonanie o istnieniu harmonii - siły, która utrzymuje cały świat, nie wyłączając bogów. Najwyraźniej można ją było zaobserwować w muzyce, astronomii, arytmetyce i geometrii (te dyscypliny jeszcze przez całe Średniowiecze wykładane były na wyższych uczelniach, jako drugi stopień wiedzy naukowej, tzw. quadrivium, pierwszy stopień, tzw. trivium: stanowiły gramatyka, retoryka i dialektyka). W okresie początkowego rozkwitu pitagoreizmu zajmowano się głównie arytmetyką. Hasło tego okresu brzmiało: "Wszystko jest liczbą". Kiedy jednak odkryto odcinki o długości niewymiernej, czyli takie, których nie dało wyrazić się liczbą (Grecy znali wówczas tylko dodatnie liczby wymierne), podważyło to podstawy doktryny.

Nastąpił czas załamania i rozpadu pitagoreizmu. Powstały dwa zwalczające się ugrupowania: akuzmatyków (tzn. słuchaczy), którzy wybrali drogę mityczno-religijną, uznali, że tajemnica harmonii jest dla człowieka nie do zgłębienia i należy jedynie nasłuchiwać podszeptów niebios na jej temat, oraz matematyków (tzn. badaczy), którzy postanowili odwrócić się od zdradliwych liczb i badać harmonię figur geometrycznych (ich hasło brzmiało: "Liczby zostawmy kupczykom", a symbolem stał się pentagram, czyli pięciokąt gwiaździsty - do dziś 1/3 państw ma go w swoim godle). Ruch akuzmatyków przetrwał kilkaset lat, ale nie wniósł nic istotnego do rozwoju nauki. Doktryna matematyków całkowicie zdominowała naukę starożytną. Poglądy te powróciły w Średniowieczu pod nazwą panteizmu.

Związek Pitagorejski:
Założony przez Pitagorasa związek miał (jak wszystkie instytucje naukowe tamtego okresu) przede wszystkim charakter etyczno-religijny (obok - fragment obrazu Rafaela Santi Szkoła ateńska). Należeć mogli do niego tylko wtajemniczeni. Podstawą przyjęcia był pięcioletni okres próbny. Co ciekawe, nie istniały ograniczenia ze względu na płeć. Przynależność do Związku wymagała pełnego utożsamienia się z jego regułami (co zapewniało realizację głównego celu - oczyszczenia duszy i zbliżenia do bogów), wśród których były m.in. takie:

  • śluby milczenia o nauczanych teoriach,
  • posłuszeństwo wobec przełożonych,
  • śluby milczenia o zdobywanej wiedzy,
  • uznanie wspólnoty dóbr członków ruchu (każdy automatycznie oddawał swe dobra do użytku wspólnego i mógł korzystać ze wspólnych środków, a gdy odchodził ze wspólnoty, otrzymywał dwa razy tyle dóbr, ile wniósł),
  • zakaz jedzenia fasoli, znęcania się nad zwierzętami i poprawiania mieczem ognia,
  • obowiązek uczestnictwa w misteriach,
  • poświęcenie się zgłębianiu wiedzy i pracy naukowej.

Dokonania pitagorejczyków znane są z jedynego zachowanego dzieła pt. Elementy napisanego przez Hipokratesa z Chios (księgi nie należy mylić z późniejszymi Elementami Euklidesa, a autora - z Hipokratesem z Kos - patronem lekarzy). Hipokratesa z Chios wyrzucono ze Związku Pitagorejskiego za nauczania geometrii za opłatą. Jemu też przypisuje się wyjawienie (w odwecie) tajemnicy istnienia odcinków bez długości (czyli o długości niewymiernej), która doprowadziła do rozłamu wśród pitagorejczyków.

 

Twierdzenia i odkrycia: 

Dla uczczenia swojego nauczyciela wiele własnych odkryć pitagorejczycy nazywali jego imieniem. Trudno dziś jednoznacznie określić, kto jest autorem jakiego wyniku. W pierwszym okresie działalności (na pewno więc pod okiem mistrza) Pitagorejczycy uporządkowali terminologię geometryczną (wprowadzając pojęcia, które w niezmienionym kształcie przetrwały do dziś, m.in. punktu, prostej, równoległości, prostopadłości, płaszczyzny, odcinka, kąta w tym wpisanego, dopisanego i środkowego, figur przystających i podobnych), uporządkowali też i dowiedli wiele faktów z zakresu arytmetyki i geometrii.

Badali własności liczb:

  • występujących w muzyce (Pitagoras zbudował jednostrunowy instrument, za pomocą którego badał zależności pomiędzy dźwiękami) i odkryli, że skrócenie struny w stosunku 1:2, 2:3 i 3:4 daje przyjemne współbrzmienie (te interwały muzyczne nazywamy dziś oktawą, kwintą i kwartą),
  • parzystych i nieparzystych,
  • doskonałych (są równe sumie swoich dzielników mniejszych od samej liczby, np. 6, 28, 496),
  • zaprzyjaźnionych (pary liczb, w których suma dzielników jednej daje drugą i na odwrót, np. 220 i 284, 1184 i 1210, 6232 i 6368, 9363584 i 9437056),
  • występujących w geometrii, np. liczb trójkątnych, kwadratowych i innych wielokątnych oraz liczb gnomicznych (tzn. dających równoramienną literę L - są to wszystkie liczby nieparzyste), o tych ostatnich udowodnili, że są różnicami kolejnych liczb kwadratowych,
  • złotej i figur, w których występuje, ? trójek pitagorejskich (odkryli wzór opisujący wszystkie takie liczby).

 

Wśród zagadnień geometrycznych badali własności:

  • wielokątów foremnych (wykazali, że płaszczyznę można wyparkietować tylko kwadratami i trójkątami lub sześciokątami foremnymi, określali sumę kątów dowolnego wielokąta, znali konstrukcję n-kątów foremnych dla n = 3, 4, 5, 15 i ich iloczynów przez dowolne potęgi dwójki),
  • wielościanów foremnych (każdemu przypisali jeden żywioł: czworościanowi foremnemu - ogień, sześcianowi - ziemię, ośmiościanowi - powietrze, dwudziestościanowi - wodę, dwunastościan, który został odkryty dużo później, symbolizował wszechświat),
  • koła i kuli,
  • figur i brył podobnych.

 

Problemy delijskie:
Do historii przeszły badane (i z powodzeniem rozwiązane przez pitagorejczyków), tzw. problemy delijskie. Ich nazwa wzięła się stąd, że gdy na wyspie Delos wybuchła zaraza, wysłani do Pytii Delfijskiej posłowie przywieźli proroctwo, że aby położyć jej kres, należy powiększyć dwukrotnie ołtarz Apollina, który miał kształt sześcianu. Powstało więc pytanie, jaką krawędź powinien mieć nowy sześcian, aby jego objętość była dwukrotnie większa. Zagadnienie to znane jest pod nazwą podwojenia sześcianu. Później dołączyły do niego jeszcze dwa: trysekcji kąta (czyli podziału danego kąta na trzy równe części) i kwadratury koła (czyli skonstruowaniu kwadratu o polu równym polu danego koła). Zadania te nazwano trzema wielkimi problemami starożytności, gdyż w czasach Platona do warunków zadania dodano ograniczenie, że konstrukcje te należy wykonać cyrklem i linijką. Dwa tysiące lat zajęło matematykom wykazanie, że w takiej wersji problemy delijskie nie mają rozwiązania.

 

Twierdzenie Pitagorasa:
Pitagorejczycy na stałe wprowadzili do matematyki konieczność przeprowadzania systematycznych dowodów twierdzeń. Udowodnili m.in. twierdzenie zwane dziś twierdzeniem Pitagorasa: jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. Prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne, które znane było już dużo wcześniej Egipcjanom i Babilończykom, i stosowane bez dowodu jako reguła wyznaczania kąta prostego: jeżeli w trójkącie suma pól kwadratów zbudowanych dwóch krótszych bokach jest równa polu kwadratu zbudowanego na najdłuższym boku, to trójkąt jest prostokątny, jeśli suma ta jest mniejsza, to trójkąt jest rozwartokątny, a jeśli większa - to ostrokątny. Dziś znane są różne uogólnienia twierdzenia Pitagorasa (np. wersja przestrzenna, figuralna, twierdzenie kosinusów i inne).

Podczas prac nad dowodem twierdzenia Pitagorasa odkryto istnienie odcinków niewspółmiernych, czyli takich, których nie da się zmierzyć, używając tej samej jednostki (tzn. nie da się jej odłożyć całkowitą liczbę razy w każdym z nich). Dziś wiemy, że stosunek długości takich odcinków jest liczbą niewymierną, ale w czasach Pitagorasa takich liczb nie znano. Te dziwne wielkości nazwano alogoj tzn. niewyrażalne.

Uwaga (dla nauczycieli)

 

Ciekawostki i anegdoty: 
  • W młodości Pitagoras był utalentowanym pięściarzem i zapaśnikiem. Zdobywał laury olimpijskie, wygrywając wszystkie walki.
  • Pitagoras miał zalecać swoim uczniom zadawanie sobie codziennie wieczorem pytań: Jaki błąd popełniłem? Co zdziałałem? Jakiego obowiązku zaniedbałem?
  • W przypadku wyrzucenia kogoś ze wspólnoty pitagorejczyków kopano odrzuconemu grób. Pozostawał on pusty i był symbolem śmierci tej osoby dla wspólnoty.
  • Z wdzięczności dla bogów za udowodnienie twierdzenia nazywanego jego imieniem Pitagoras miał złożyć hekatombę, czyli ofiarę ze stu byków.
  • Pitagoras wprowadził termin "filozofia" (tzn. umiłowanie mądrości) dla zaznaczenia, że mądrość jest rzeczą boską, a człowiekowi dostępne jest jedynie jej umiłowanie.
  • Pitagorejczycy pierwsi używali terminów: "filozofia" (na oznaczenie wszelkiej działalności naukowej) i "matematyka" (na oznaczenie tych dziedzin, które uprawiane były w sposób dedukcyjny - Tales. To, co dziś zaliczamy do matematyki, nazywane było wtedy (i później, aż do XIX w.) "geometrią".
  • Pitagoras był prawdopodobnie wegetarianinem.
  • Pitagorejczycy wierzyli w reinkarnację.
  • Legenda głosi, że Pitagoras miał dar rozmawiania ze zwierzętami. Podobno przekonał niedźwiedzia, który nękał okoliczną ludność, aby przestał atakować ludzi. Innym razem przekonał wołu, aby nie jadł bobu, bo po nim choruje.
  • Pitagorejczycy, badając figury podobne, umożliwili wykonywanie rysunków w skali, planów i map (nie istniały one w kulturach narodów pozaeuropejskich), czemu zawdzięczamy późniejsze wielkie odkrycia geograficzne, rewolucję przemysłową i wiele innych osiągnięć.
  • Podobieństwo jest jednym z najbardziej intuicyjnych pojęć matematycznych. Nawet w przedszkolu, gdy pani rysuje kółko na tablicy i każe dzieciom w zeszytach zrobić to samo, to rysują one kółko w dużym pomniejszeniu i są przekonane (podobnie jak i pani), że rzeczywiście narysowały to samo.

Cytaty: 
  • Wszystko jest liczbą.
  • Liczby zostawmy kupczykom.
  • Muzyka budzi w sercu pragnienie dobrych czynów.
  • Kto zatraca się w cierpieniu, nie może być człowiekiem wolnym.
  • Naprawdę poznajemy człowieka dopiero po jego śmierci.
  • Milcz albo powiedz coś takiego, co jest lepsze od milczenia.
  • Tak postępuj z przyjaciółmi, aby nie stali się nieprzyjaciółmi, a z nieprzyjaciółmi tak, żeby jak najprędzej stali się tobie przyjaciółmi.
  • U przyjaciół wszystko jest wspólne.
  • Przyjaciel to ten, który jest drugim ja. Tak jak 220 i 284.
  • Natura jest wszędzie taka sama.
  • Wszechświat jest kosmosem, uporządkowaną całością i każdy z nas jest częścią kosmosu.
  • Tak długo, jak człowiek będzie zabijał zwierzęta, ludzie będą zabijali się nawzajem. W istocie ten, kto zabija i zadaje ból, nie zazna radości i miłości.
  • Najkrótsze wyrazy - "tak" i "nie" - wymagają najdłuższego zastanowienia.
  • Trudno jest iść przez życie wieloma drogami jednocześnie.

   

Powrót na górę strony